Processus progressivement mesurable

Soient :

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ un espace de probabilité ;
• ${\displaystyle (\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})}$ un espace mesurable, l'espace d'états ;
• ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\mid t\geq 0\}}$ une filtration de la σ-algèbre ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$;
• ${\displaystyle X:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} }$ un processus stochastique (l'ensemble des indices pourrait être ${\displaystyle [0,T]}$ ou ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ au lieu de ${\displaystyle [0,\infty )}$) ;
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,t])}$ la σ-algèbre de Borel sur ${\displaystyle [0,t]}$.

Le processus ${\displaystyle X}$ est dit progressivement mesurable^[1] si, pour chaque ${\displaystyle t}$, l'application ${\displaystyle [0,t]\times \Omega \to \mathbb {X} }$ définie par ${\displaystyle (s,\omega )\mapsto X_{s}(\omega )}$ est ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}}$ - mesurable. Cela implique que ${\displaystyle X}$ est ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ - adapté^[2].

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