Produit de Gromov

Soit (X, d) un espace métrique et x, y, z ∈ X. Le produit de Gromov de y et z en x, noté (y, z)_x, est défini par

${\displaystyle (y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){\big )}.}$

Étant donnés trois points x, y, z de l'espace métrique X, l'inégalité triangulaire montre qu'il existe trois nombres positifs ou nuls ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$, ${\displaystyle a_{3}}$ tels que ${\displaystyle d(x,y)=a_{1}+a_{2},\ d(x,z)=a_{1}+a_{3},\ d(y,z)=a_{2}+a_{3}}$. Les produits de Gromov sont alors ${\displaystyle (y,z)_{x}=a_{1},\ (x,z)_{y}=a_{2},\ (x,y)_{z}=a_{3}}$.

En géométrie euclidienne, hyperbolique ou sphérique, le produit de Gromov a une interprétation graphique représentée ci-contre : si les points A, B et C ne sont pas alignés, le produit (A, B)_C est égal à la distance p entre C et les points de tangence du cercle inscrit au triangle ABC ; on voit facilement sur le diagramme que c = (a – p) + (b – p), donc p = (a + b – c)/2 = (A,B)_C. Pour tout espace métrique, on peut plonger isométriquement un triplet de points dans le plan euclidien, et appliquer la construction précédente pour obtenir une représentation du produit de Gromov^[1].

• Le produit est commutatif : (y, z)_x = (z, y)_x.
• Il est dégénéré aux extrémités : (y, z)_y = (y, z)_z = 0.
• Pour tous points p, q, x, y et z,

${\displaystyle d(x,y)=(x,z)_{y}+(y,z)_{x},}$

${\displaystyle 0\leq (y,z)_{x}\leq \min {\big \{}d(y,x),d(z,x){\big \}},}$

${\displaystyle {\big |}(y,z)_{p}-(y,z)_{q}{\big |}\leq d(p,q),}$

${\displaystyle {\big |}(x,y)_{p}-(x,z)_{p}{\big |}\leq d(y,z).}$

On se place dans l'espace hyperbolique Hⁿ , on fixe un point de base p et on note ${\displaystyle x_{\infty }}$ et ${\displaystyle y_{\infty }}$ deux points à l'infini distincts. Alors la limite

${\displaystyle \liminf _{x\to x_{\infty } \atop y\to y_{\infty }}(x,y)_{p}}$

existe et est finie ; on l'appelle le produit de Gromov généralisé de ${\displaystyle x_{\infty }}$ et ${\displaystyle y_{\infty }}$ (en p). Il est donné par la formule explicite

${\displaystyle (x_{\infty },y_{\infty })_{p}=\log \csc(\theta /2),}$

où ${\displaystyle \theta }$ est l'angle entre les géodésiques partant de p et de directions asymptotiques ${\displaystyle x_{\infty }}$ et ${\displaystyle y_{\infty }}$^[2].