Produit de Wallis

Ce produit peut s'écrire sous la forme :

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {4}{5}}\times {\frac {6}{5}}\times {\frac {6}{7}}\times {\frac {8}{7}}\times {\frac {8}{9}}\cdots {\frac {2n}{2n-1}}\times {\frac {2n}{2n+1}}\cdots }$

soit, de façon plus condensée :

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4n^{2}-1}}\right)}$

ou encore :

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=2\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k)(2k+2)}{(2k+1)(2k+1)}}=2\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k+1)^{2}-1}{(2k+1)^{2}}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}\right).}$

Une formulation équivalente est :

${\displaystyle \pi =\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}{\frac {2^{2}\times 4^{2}\times 6^{2}\cdots (2n)^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,}{1^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}\cdots (2n-1)^{2}}}=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k)^{2}}{(2k-1)^{2}}}}$.