Produit tensoriel et représentations de groupes finis
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En mathématiques et plus précisément dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini, le produit tensoriel est une technique permettant de construire une représentation d'un groupe fini à partir de deux autres.
Une représentation d'un groupe produit est irréductible si et seulement si elle est le produit tensoriel de représentations irréductibles de chacun des deux facteurs.
Produit tensoriel de deux espaces vectoriels
Soient V et W deux espaces vectoriels sur un corps K. Le produit tensoriel de V et W, noté V⊗W, est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire canonique de V×W dans V⊗W, initial au sens suivant : toute application bilinéaire de V×W dans un espace vectoriel E se factorise de façon unique par une application linéaire de V⊗W dans E. Cet espace V⊗W (muni de son application bilinéaire canonique) est donc unique à isomorphisme près, comme solution de ce problème universel. Son existence est démontrée dans l'article détaillé.
Le cas particulier E=K fournit un isomorphisme entre l'espace vectoriel des formes bilinéaires sur V×W et l'espace dual (V⊗W)*. Cet espace de formes bilinéaires étant par ailleurs identifiable à Hom(V,W*) ainsi qu'à Hom(W,V*), il est isomorphe à V*⊗W* dès que V ou W est de dimension finie.
En caractéristique différente de 2, les tenseurs symétriques et antisymétriques de V⊗V forment deux sous-espaces supplémentaires, notés Sym(V) et Alt(V).
Si (ai) (resp. (bj)) est une base de V (resp. W), alors les images canoniques dans V⊗W des couples (ai,bj), notées ai⊗bj, forment une base de V⊗W.
Passage aux endomorphismes
À tout endomorphisme φ de V et tout endomorphisme ψ de W est associé un endomorphisme de V⊗W noté φ⊗ψ et caractérisé par :
Ce produit tensoriel est compatible avec la composition :
et φ⊗ψ est bijectif si et seulement si φ et ψ le sont.
Sym(V) et Alt(V) sont stables par φ⊗φ.
Si (αi,k) (resp (βj,l)) désigne la matrice de φ (resp. ψ) dans les bases précédentes (supposées finies), alors la matrice de φ⊗ψ dans la base (ai⊗bj) a pour coefficients , c'est-à-dire que
On en déduit que la trace de φ⊗ψ (somme des termes diagonaux de cette matrice) est égale au produit des traces de φ et ψ :
