Projecteur de Leray

Pour les champs de vecteurs ${\displaystyle \mathbf {u} }$ (en dimension quelconque ${\displaystyle n\geq 2}$), le projecteur de Leray ${\displaystyle \mathbb {P} }$ est défini par

${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {u} -\nabla \Delta ^{-1}(\nabla \cdot \mathbf {u} ).}$

Cette définition est à comprendre au sens des opérateurs pseudo-différentiels : son multiplicateur de Fourier à valeurs matricielles ${\displaystyle m(\xi )}$ est donné par

${\displaystyle m(\xi )_{kj}=\delta _{kj}-{\frac {\xi _{k}\xi _{j}}{\vert \xi \vert ^{2}}},\quad 1\leq k,j\leq n.}$

Ici, ${\displaystyle \delta }$ est le symbole de Kronecker. Formellement, cela signifie que pour tout ${\displaystyle \mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}$, on a

${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {u} )_{k}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\delta _{kj}-{\frac {\xi _{k}\xi _{j}}{\vert \xi \vert ^{2}}}\right){\widehat {\mathbf {u} }}_{j}(\xi )\,e^{i\xi \cdot x}\,\mathrm {d} \xi ,\quad 1\leq k\leq n}$

où ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ est l'espace de Schwartz. On utilise ici la convention de sommation d'Einstein.

Il est possible de montrer qu'un champ de vecteurs ${\displaystyle \mathbf {u} }$ donné se décompose sous la forme

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla q+\mathbf {v} ,\quad {\text{avec}}\quad \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}$

Au contraire de la décomposition de Helmholtz, la décomposition de Helmholtz-Leray de ${\displaystyle \mathbf {u} }$ est unique (à une constante additive près pour ${\displaystyle q}$ ). Nous pouvons alors définir ${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {u} )}$ par

${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {v} .}$

Le projecteur de Leray a les propriétés remarquables suivantes :

1. Le projecteur de Leray est un projecteur : ${\displaystyle \mathbb {P} [\mathbb {P} (\mathbf {u} )]=\mathbb {P} (\mathbf {u} )}$ pour tout ${\displaystyle \mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}$.
2. Le projecteur de Leray est un opérateur à divergence nulle : ${\displaystyle \nabla \cdot [\mathbb {P} (\mathbf {u} )]=0}$ pour tout ${\displaystyle \mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}$.
3. Le projecteur de Leray est simplement l'identité pour les champs de vecteurs à divergence nulle : ${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {u} }$ pour tout ${\displaystyle \mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}$ tel que ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$.
4. Le projecteur de Leray s'annule sur tous les champs de vecteurs qui dérivent d'un potentiel : ${\displaystyle \mathbb {P} (\nabla \phi )=0}$ pour tout ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Les équations de Navier-Stokes (incompressibles) sont

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\nu \,\Delta \mathbf {u} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\mathbf {f} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

où ${\displaystyle \mathbf {u} }$ est la vélocité du fluide, ${\displaystyle p}$ la pression divisée par la masse volumique (constante), ${\displaystyle \nu >0}$ la viscosité et ${\displaystyle \mathbf {f} }$ la force externe volumique.

En appliquant le projecteur de Leray à la première équation, on obtient en utilisant les propriétés ci-dessus :

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nu \,\mathbb {S} (\mathbf {u} )+\mathbb {B} (\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=\mathbb {P} (\mathbf {f} )}$

où

${\displaystyle \mathbb {S} (\mathbf {u} )=-\mathbb {P} (\Delta \mathbf {u} )}$

est l'opérateur de Stokes (en) et la forme bilinéaire ${\displaystyle \mathbb {B} }$ est définie par

${\displaystyle \mathbb {B} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbb {P} [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} ].}$

En général, on suppose pour simplifier que ${\displaystyle \mathbf {f} }$ est à divergence nulle, de telle sorte que ${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {f} )=\mathbf {f} }$ ; cela peut toujours être vérifié, avec le terme ${\displaystyle \mathbf {f} -\mathbb {P} (\mathbf {f} )}$ ajouté à la pression.

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