Projection quincunciale de Peirce

La maturation de l'analyse complexe au XIX^e siècle a conduit à des techniques générales de transformation conforme, où les applications préservant les angles entre points du plan euclidien sont représentées par des fonctions analytiques de nombres du plan complexe. En 1851, Bernhard Riemann a énoncé le théorème de transformation conforme de Riemann, selon lequel l'intérieur de toute figure plane sans trou pouvait être transformé conformement en l'intérieur d'un disque, sans toutefois construire explicitement de telles transformations. En 1867 et 1869, respectivement, Elwin Christoffel et Hermann Schwarz ont développé indépendamment chacun une formule pour la transformation d'un disque en un polygone simple quelconque, désormais connue sous le nom de transformation de Schwarz-Christoffel . Schwarz avait décrit explicitement la transformation conforme d'un disque en un carré.

Inspiré par Schwarz, en 1877, le mathématicien et philosophe Charles Sanders Peirce, alors employé au Service géodésique et côtier des États-Unis, combina la projection stéréographique de l'hémisphère sur le disque avec la projection de Schwarz du disque sur le carré, pour développer sa « projection quinconciale ». Dans sa forme normale, la projection de Peirce représente l'hémisphère nord dans un carré ; l'hémisphère sud est divisé en quatre triangles isocèles entourant symétriquement le premier, à la manière de projections en étoile. De fait, la carte entière est un carré, ce qui incita Peirce à nommer sa projection « quincuncial », en référence à la disposition des cinq éléments dans un quinconce.

Après que Peirce a présenté sa projection, deux autres cartographes ont développé des projections similaires de l'hémisphère (ou de la sphère entière, après un réarrangement approprié) sur un carré : Guyou en 1887 et Adams en 1925. ^{[1] [2]} Les trois projections sont des versions transversales les unes des autres (voir les projections connexes ci-dessous).

La projection quincunciale de Peirce est « obtenue en transformant la projection stéréographique ayant un pôle à l’infini, au moyen d’une fonction elliptique » ^[3]. La quincunciale de Peirce est en réalité une projection de l’hémisphère, mais ses propriétés de pavage (voir ci-dessous) permettent son utilisation pour la sphère entière. La projection transforme l’intérieur d’un cercle en l’intérieur d’un carré au moyen de la transformation de Schwarz-Christoffel, comme suit ^[2]:

$${\displaystyle \operatorname {sd} \left({\sqrt {2}}w,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\sqrt {2}}\,r}$$

• sd is the ratio of two Jacobi elliptic functions: sn / dn ;
• w is the mapped point on the plane as a complex number (w = x + iy);
• r is the stereographic projection with a scale of 1/2 at the center.

Une intégrale elliptique de première espèce peut être utilisée pour résoudre pour w . La notation à virgule utilisée pour sd(u, k) signifie 1 / sqrt(2) est le module du rapport de la fonction elliptique, par opposition au paramètre [qui serait écrit sd(u|m) ] ou à l' amplitude [qui serait écrite sd(u\α) ]. La transformation a un facteur d'échelle de 1/2 au centre, comme la projection stéréographique génératrice.

Noter que: $${\displaystyle \operatorname {sd} \left({\sqrt {2}}w,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\sqrt {2}}\operatorname {sl} \left(w\right)}$$ est la fonction sinus lemniscatique (voir Fonctions elliptiques lemniscatiques ).

Selon Peirce, sa projection possède les propriétés suivantes (Peirce, 1879) :

• La sphère est présentée dans un carré.
• La partie où l'exagération d'échelle est le double de celle au centre ne représente que 9 % de la surface de la sphère, contre 13 % pour la projection de Mercator et 50 % pour la projection stéréographique.
• La courbure des lignes représentant les grands cercles est, dans tous les cas, très faible sur la majeure partie de leur longueur.
• Elle est conforme partout sauf aux quatre coins de l'hémisphère intérieur (donc aux milieux des bords de la projection), où l'équateur et les quatre méridiens changent brusquement de direction (l'équateur est représenté par un carré). Ce sont des singularités où la différentiabilité n'est plus vérifiée.
• Il peut être pavé dans toutes les directions.

L’association Nuées et le cartographe Nicolas Lambert soulignent d’autres propriétés remarquables de cette projection^[4]:

• Elle parvient a représenter les formes des terres plus fidèlement que la projection de Mercator, notamment la Russie, le Groenland et l’Antarctique.
• Sa structure divisée en 8 triangles rectangles isocèles réagencables ne crée pas un centre qui serait privilégié au détriment de la périphérie. Les zones tropicales sont légèrement agrandies, et les zones pôlaires légèrement réduites. Dans la configuration la plus courante (carré centré sur le pôle Nord), le centre ne bénéficie donc pas d’un traitement de faveur. Et de nombreuses autres configurations sont possibles, faisant varier les centres.
• La propriété du pavage peut permettre de créer un modèle de tuiles comme celui utilisé par les logiciels de cartographie en ligne. La projection quinconce pourrait donc offrir une alternative à la base Mercator adoptée par Google Maps ou OpenStreetMap.

La projection pave le plan ; autrement dit, des copies répétées peuvent recouvrir entièrement (paver) une surface quelconque, les caractéristiques de chaque copie correspondant exactement à celles de ses voisines (voir l’exemple à droite). De plus, les quatre triangles du second hémisphère de la projection quincunciale de Peirce peuvent être réorganisés en un autre carré placé à côté du carré correspondant au premier hémisphère, ce qui donne un rectangle de rapport hauteur/largeur 2:1 ; cette disposition est équivalente à l’aspect transversal de la projection de Guyou (hémisphère inscrit dans un carré)^[5].

8 configurations sont possibles à partir de la même projection. On peut composer le planisphère selon 8 points de vue différents sans recourir à un logiciel, simplement en découpant la projection quinconce imprimée : un carré centré sur le pôle Nord ou un carré centré sur le pôle Sud ; un rectangle (1/2) centré sur l’Amérique du Sud, centré sur l’Afrique, centré sur l’Océanie ou centré sur le Pacifique ; un rectangle panoramique (1/4) centré sur l’Atlantique ou centré sur le Pacifique. La projection carrée centrée sur le pôle Nord et les 2 projections panoramiques présentent l’avantage de ne pas découper de terres. ^[6]

Ces différentes compositions correspondent à différents points de vue sur le globe déjà utilisés dans d'autres cadres, mais avec de moindres déformations : on retrouve dans le planisphère quinconce centré sur le pôle Nord la projection azimutale équidistante que l'ONU a pris pour logo. Dans la projection quinconce centrée sur l'Asie, on retrouve la projection officielle en Chine conçue par Hao Xiaoguang dans un format vertical met l’Asie au centre, avec l’Amérique du Nord en haut et l’Amérique du Sud en bas, tout comme dans l’une des variantes de la projection quinconce. Et la vue panoramique de la projection quinconce est aussi étonnamment proche de la projection Cahill Keyes qui représente fidèlement les terres en découpant les océans.

La compréhension de ces multiples points de vue sur le globe via les pliages et découpages de la projection quinconce en font une carte utilisée dans le cadre pédagogique^[6].

Dans le contexte des débats sur l’influence symbolique des planisphères, l’ONG Speak Up Africa a lancé en 2025 une campagne^[7] qui souligne la réduction de la taille de l’Afrique dans la projection Mercator, et invite à changer de projection au profit de la Equal Earth.

L’association Nuées en collaboration avec le cartographe Nicolas Lambert proposent de redécouvrir la projection quinconce de Peirce pour ses vertus symboliques ^[4]:

• Elle propose le meilleur compromis entre un excellent respect des formes et un bon respect des proportions, là où les autres projections privilégient l’un de ces deux aspects et sacrifient l’autre.
• Sa modularité permet de ne pas favoriser un continent central, comme l’Afrique au centre de la Equal Earth, et évite de déformer les continents de la périphérie.

Comme de nombreuses autres projections basées sur les nombres complexes, la projection quinconce de Peirce a été peu utilisée à des fins géographiques. L'un des rares cas recensés remonte à 1946, lorsqu'elle a été employée pour la carte mondiale des routes aériennes du Service géodésique et côtier des États-Unis^[5],[8]. Plus récemment, elle a été utilisée pour présenter des panoramas sphériques à des fins à la fois pratiques et esthétiques, permettant de représenter la sphère entière avec la plupart des zones reconnaissables^[9].

En 2025 elle est choisie comme base pour la carte pédagogique « Le planisphère carré, pour changer de vision du monde », qui indique les noms des pays dans leur langue et alphabet original, sous-titré en phonétique. Le planisphère montre aussi comment dire « bonjour » dans 150 langues du monde^[4]. Les régions tropicales n’étant plus réduites, cette projection permet d’illustrer davantage de langues dans ces zones.

En vue transversale, un hémisphère correspond à la projection d'Adams (hémisphère inscrit dans un carré, le pôle étant situé à l'angle du carré). Ses quatre singularités se trouvent au pôle Nord, au pôle Sud, à l'équateur à 25° Ouest, à l'équateur à 155° Est, dans les océans Arctique, Atlantique et Pacifique, et en Antarctique. Ce grand cercle sépare les hémisphères occidental et oriental traditionnels.

Vue de face (45 degrés), une hémisphère correspond à la projection de Guyou (hémisphère inscrit dans un carré, le pôle étant situé au milieu du côté du carré). Ses quatre singularités se trouvent à 45 degrés de latitude nord et sud sur le grand cercle formé par les méridiens 20° Ouest et 160° Est, dans les océans Atlantique et Pacifique. Ce grand cercle divise les hémisphères occidental et oriental traditionnels.

• Liste des projections cartographiques
• monde conforme de Lee dans un tétraèdre