Propriété de Banach-Saks

• Pour tout sous-espace fermé Y d'un espace de Banach X, l'espace X a la propriété de Banach-Saks si et seulement si Y et le quotient X/Y l'ont^[7].
• La propriété de Banach-Saks est conservée par équivalence de norme (contrairement à la convexité uniforme, par exemple).
• Le dual n'hérite pas de cette propriété.

On dit qu'un espace de Banach X a la p-propriété de Banach-Saks si, pour toute suite bornée (x_m)_m dans X, il existe une sous-suite (x_mn)_n, un vecteur x dans X et une constante C > 0 (qui dépendent de la suite) tels que

${\displaystyle \forall N\in \mathbb {N} ,\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}(x_{m_{n}}-x)\right\|\leq C~N^{\frac {1}{p}}.}$

S'il existe un p > 1 pour lequel X a cette propriété, alors X a la propriété de Banach-Saks ordinaire, car

${\displaystyle \left\|{\frac {\sum _{n=1}^{N}x_{m_{n}}}{N}}-x\right\|={\frac {1}{N}}\left\|\sum _{n=1}^{N}(x_{m_{n}}-x)\right\|\leq C~N^{{\frac {1}{p}}-1}\to 0.}$

Dans leur article de 1930, Banach et Saks ont essentiellement démontré que pour 1 < p < ∞, L^p([0, 1]) a la p-propriété.

Puisque la propriété de Banach-Sacks entraîne la réflexivité, il est naturel de chercher sous quelle hypothèse supplémentaire on a la réciproque. Un espace de Banach X a la propriété de Banach-Saks faible ou WBS (ou BSR : propriété de Banach-Saks-Rosenthal^[6], du nom de Haskell Paul Rosenthal) si toute suite faiblement convergente dans X admet une sous-suite qui converge au sens de Cesàro. Comme toute suite faiblement convergente est bornée, la propriété de Banach-Saks usuelle entraîne cette variante faible, et comme indiqué plus haut, pour un espace réflexif les deux sont équivalentes. Mais beaucoup d'espaces non réflexifs (donc n'ayant pas la propriété usuelle) ont la propriété faible :

• L'espace L¹([0, 1]) a cette propriété faible^[8].
• Pour tout espace métrique compact S, l'espace C(S) a la propriété de Banach-Saks faible si et seulement si l'ensemble dérivé itéré une infinité de fois, S^(ω), est vide^[9]. Par exemple, C([0, 1]) et ℓ^∞ = C(βℕ) n'ont pas cette propriété faible, mais l'espace c = C({0, 1, 1/2, 1/3, … }) des suites convergentes l'a.
• Dans c, l'hyperplan fermé c₀ des suites de limite nulle l'a aussi. Plus généralement, cette propriété passe aux sous-espaces fermés (mais pas aux quotients).

On définit de même la p-propriété de Banach-Saks faible.

On dit qu'un espace de Banach X a la propriété de Banach-Saks alternée (ou ABS) si toute suite bornée (x_m)_m dans X a une sous-suite (x_mn)_n dont la suite des « moyennes alternées de Cesàro »

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}(-1)^{n}x_{m_{n}}}$

converge en norme.

Cette propriété est intermédiaire entre les propriétés de Banach-Saks usuelle et faible^[6] et ces implications sont strictes : ℓ¹ a la propriété faible (puisqu'il a la propriété de Schur) mais pas l'alternée et c₀ a l'alternée^[10] mais – comme vu plus haut – pas l'usuelle.

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