Puissance résiduelle

D'une façon générale, la modélisation de la puissance résiduelle et restée relativement imprécise jusqu'au milieu des années 1980 en raison de la lourdeur du calcul et de sa faible importance au regard d'autres priorités.

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Plusieurs corrélations ont été proposées pour évaluer la puissance résiduelle, dont les plus classiques sont présentées ci-après.

• Notations utilisées :

  Wr = puissance résiduelle

  Po = puissance du réacteur avant l'arrêt

  d = durée de fonctionnement du réacteur

  t = temps écoulé depuis l'arrêt du réacteur

  Origine des temps = Instant d'arrêt du réacteur

• Les modèles supposent un fonctionnement à puissance constante ; si le réacteur a effectué plusieurs paliers de puissance, il convient d’additionner les contributions de chaque palier.
• Une première formule approchée a été élaborée par Way et Wigner en 1946^[1],[2]

${\displaystyle {Wr(t) \over P_{o}}=0,0622*(t^{-0,2}-(d+t)^{-0,2})}$ avec ${\displaystyle t}$ et ${\displaystyle d}$ en secondes applicable entre 10 s et 100 jours post arrêt

• Corrélation de Todreas Kazimi (reprise / correction de la corrélation de Way - Wigner par augmentation de 6 % du coefficient en facteur) :

${\displaystyle {Wr(t) \over P_{o}}=0,066*(t^{-0,2}-(d+t)^{-0,2})}$ avec ${\displaystyle t}$ et ${\displaystyle d}$ en secondes applicable entre 10 s et 100 jours post arrêt

• Corrélation de Todreas Rust

${\displaystyle {Wr(t) \over P_{o}}=0,1*\left[(t+10)^{-0,2}-(t+d+10)^{-0,2}-0,87*\left((t+2E7)^{-0,2}-(t+d+2E7)^{-0,2}\right)\right]}$ avec ${\displaystyle t}$ et ${\displaystyle d}$ en secondes applicable entre 1 s et 10 jours post arrêt

• Corrélation générale

${\displaystyle {Wr(t) \over P_{o}}=a*(t^{-b}-(d+t)^{-b})}$ de t = 0,1 à 10 s, a = 0,06025 b = 0,6390 de t = 10 à 150 s, a = 0,07655 b = 0,1807 de t = 150 à 8E8 s, a = 0,13715 b = 0,2962 applicable entre 0,1 s et 1 an post-arrêt

Les corrélations en${\displaystyle .\;t^{-0,2}\;.}$trouvent une justification dans la règle semi-empirique de Sargent, du nom du physicien canadien Bernice Weldon Sargent (en) qui énonça dans les années 1930 la règle suivant laquelle la vie moyenne d'un émetteur bêta^{[Note 7]} est inversement proportionnelle à la puissance 5 de l'écart d'énergie de cohésion entre l'atome père et l'atome fils : ${\displaystyle .\quad \lambda \div \delta E^{5}\quad .}$ Suivant cette règle, on peut admettre que la chaleur dégagée à l'instant t après arrêt du réacteur par les produits de fission de vie moyenne égale à t formés à l'instant (o) d'arrêt du réacteur, est proportionnelle à ${\displaystyle .\;t^{-1}*t^{-0,2}\;.}$ ;avec ${\displaystyle .\;t^{-1};.}$ proportionnel à la quantité et ${\displaystyle .\;t^{-0,2}\;.}$ proportionnel à l'énergie^{[Note 8]}. De la même façon, la chaleur des produits de fission de vie moyenne égale à t - u, formés au cours du palier de puissance dans l'intervalle de temps u ; u + du est proportionnelle à ${\displaystyle .\quad dWr\div (t-u)^{-1,2}\quad .}$ (u est négatif). On fait alors l'hypothèse que dans l'ensemble des produits de fission, les vies moyennes sont équiprobables d'où

${\displaystyle .\quad Wr(t)\div \int \limits _{-d}^{0}(t-u)^{-1,2}*du\div \left(t^{-0,2}-(t+d)^{-0,2}\right)\quad .}$

Le coefficient de proportionnalité (voisin de 0,066) découle assez simplement de la valeur de l'énergie en bêta et gamma différés dans la décomposition de l'énergie de fission récupérable en réacteur, soit 7,4 % environ, en tenant compte de ce que les formules en t^-0,2 ne sont de toutes façons pas calculables au voisinage de t = 0.

Il est par ailleurs assez remarquable qu'une approche aussi simpliste conduise à un résultat aussi voisin de la réalité constatée.

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Un calcul plus complet consiste à distinguer les produits de fission par leur temps de décroissance, puis de modéliser pour chaque groupe la puissance émise par les produits de fissions comptés dans ce groupe. À chaque groupe est donc associé une contribution à la puissance dégagée qui rend compte du nombre d'atomes désintégrés et de l'énergie correspondante. Par exemple, un regroupement en dix groupes est souvent utilisé et donne d'assez bons résultats. Dans ce calcul simplifié l'effet des neutrons retardés et des actinides peut être pris en compte, les contributions respectives à la puissance thermique totale sont confondues avec celles des groupes 1, 2 et 10 respectivement.

Une des limites de ce modèle est qu'il ne compte explicitement le phénomène de produits de fission secondaires : un produit de fission ayant une demi-vie de huit heures peut par exemple se désintégrer en produit ayant une demi-vie différente, et donc venir alimenter à nouveau le réservoir de produits de fission.

En préambule on rappelle que la puissance en watts s'écrit ${\displaystyle W=\Sigma _{f}e\Phi V_{comb}}$, avec ${\displaystyle \Sigma _{f}}$ la section macroscopique de fission (en cm⁻¹), ${\displaystyle e}$ l’énergie dégagée par une fission (joules), ${\displaystyle \Phi }$ le flux neutronique (en neutrons cm⁻².s⁻¹) et ${\displaystyle V_{comb}}$ le volume occupé par le combustible (en cm³).

Ensuite on indice par ${\displaystyle j}$ chacun des groupes introduits au-dessus. Chaque groupe ${\displaystyle j}$ est caractérisé par un rendement de fission ${\displaystyle \gamma _{j}}$ (nombre moyen de produits du groupe j créés par fission d’uranium 235), sa durée de vie est caractérisée par une constante radioactive de décroissance ${\displaystyle \lambda _{j}}$ et sa désintégration dégage unitairement l'énergie ${\displaystyle e_{j}}$.

On tient compte maintenant des groupes de radionucléides par sommation de la contribution de chaque groupe : ${\displaystyle W_{res}(t)=\sum _{j}W_{j}(t)}$.

Sur un pas de temps ${\displaystyle dt}$ et sous un flux ${\displaystyle \Phi }$, la densité volumique de radionucléides du groupe ${\displaystyle j}$ notée ${\displaystyle N_{j}}$ varie selon : ${\displaystyle dN_{j}=-\lambda _{j}N_{j}dt+\gamma _{j}\Sigma _{f}\Phi dt}$. L’énergie résiduelle dégagée sur un pas de temps (et qui correspond aux désintégrations) ${\displaystyle dt}$ par le groupe ${\displaystyle j}$ s’écrit ${\displaystyle dE_{j}=+(\lambda _{j}N_{j}dt)e_{j}V_{comb}}$. Ainsi la puissance résiduelle du groupe ${\displaystyle j}$ s’écrit ${\displaystyle W_{j}=\lambda _{j}N_{j}e_{j}V_{comb}}$, qui vérifie (en multipliant l'équation précédent par ${\displaystyle \lambda _{j}e_{j}V_{comb}}$) : ${\displaystyle dW_{j}=-\lambda _{j}W_{j}dt+\gamma _{j}\lambda _{j}e_{j}V_{comb}\Sigma _{f}\Phi dt=-\lambda _{j}W_{j}dt+\lambda _{j}P_{j}Wdt}$. Finalement : ${\displaystyle (dW_{j})/dt=-\lambda _{j}W_{j}+\lambda _{j}\gamma _{j}e_{j}/eW}$ (en notant ${\displaystyle P_{j}=\gamma _{j}e_{j}/e}$, qui correspond au rapport ${\displaystyle W_{j}/W}$ au bout d’un palier infiniment long).

En intégrant sur un palier de puissance stable, on a : ${\displaystyle W_{j}(t+dt)=W_{j}(t)\exp(-\lambda _{j}dt)+P_{j}W(t)(1-\exp(-\lambda _{j}dt))}$ (ou, en notant le palier ${\displaystyle n}$ en exposant, ${\displaystyle W_{j}^{n+1}=(W_{j}^{n}-P_{j}W^{n})\exp(-\lambda _{j}dt)+P_{j}W^{n}}$). Cela permet d'évaluer l'évolution des puissances résiduelles à chaque palier, jusqu'à l'arrêt du réacteur à ${\displaystyle t_{0}}$. Après arrêt du réacteur, les paliers sont à puissance nulle, donc au bout d'un temps ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle W_{j}(t_{0}+t)=W_{j}(t_{0})\exp(-\lambda _{j}t)}$.

L'énergie ${\displaystyle E(t)}$ dégagée à l'instant ${\displaystyle t}$ après arrêt du réacteur prend alors la valeur simple ${\displaystyle E(t)=\sum _{j=1}^{10}1/\lambda _{j}W_{j}(t_{0})(1-\exp(-\lambda _{j}t))}$.

Les valeurs des termes « contribution », notés ${\displaystyle P_{j}}$ ou ${\displaystyle e_{j}\alpha _{j}}$ pour ${\displaystyle j=1,..,10}$, sont données dans le tableau ci-après dans un cas typique.

L'évaluation correspondante est correcte, cependant dans le cas d'un calcul de sûreté il convient de majorer le résultat de façon forfaitaire en multipliant par 1,246. Ce coefficient est le produit de trois facteurs^{[réf. nécessaire]} :

• une incertitude générale sur la puissance thermique estimée à 1,03 ;
• un écart entre le résultat du calcul complet et la réalité estimé à 1,1 ;
• un écart de calcul entre le modèle complet et le calcul simplifié (comparaison « code à code » estimée à 1,1).

Le coefficient global de majoration du résultat, produit de ceux-ci, permet d’assurer que le résultat du calcul est bien supérieur à la puissance thermique résiduelle à tout instant après arrêt du réacteur.

• (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Nachzerfallswärme » (voir la liste des auteurs).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Decay heat » (voir la liste des auteurs).

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