Puits quantique

L'étude des puits de potentiel en mécanique quantique est celle de l'équation de Schrödinger

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)\qquad \mathrm {ou} \qquad -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$

avec ${\displaystyle {\hbar }={\frac {h}{2\pi }}}$

pour différentes formes de la fonction V(r) (énergie potentielle). Puisque le hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, on peut chercher des solutions sous la forme d'états stationnaires, c'est-à-dire pour lesquels la fonction d'onde s'écrit

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i{\frac {E}{\hbar }}t}}$

et (ψ(r) , E) sont solution du problème aux valeurs propres suivant (équation de Schrödinger indépendante du temps) :

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} ).}$

Si la particule n'est pas à l'instant initial dans un état stationnaire, sa fonction d'onde peut se décomposer sur la base des fonctions propres trouvées ci-dessus de manière à connaître l'évolution du système au cours du temps. On considère souvent un espace à une dimension : V=V(x), ψ=ψ(x).

Dans ce cas, on a

${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega _{0}^{2}x^{2}.}$

Les énergies propres sont quantifiées :

${\displaystyle E_{n}=(n+1/2)\hbar \omega _{0}.}$

La fonction d'onde de l'état fondamental est une gaussienne centrée en 0 et les états excités peuvent s'exprimer à partir des polynômes d'Hermite.

Dans ce cas, on a

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}-U_{0},&{\text{si }}|x|<L/2{\text{ (puits)}}\\\infty ,&{\text{si }}|x|>L/2{\text{ (barriere)}}\end{cases}}}$

La deuxième ligne revient à dire que ψ(x) = 0 en x = ±L/2. Les énergies propres sont quantifiées :

${\displaystyle E_{n}=-U_{0}+{\frac {1}{2m}}\left({\frac {n\pi \hbar }{L}}\right)^{2}.}$

Les fonctions propres sont des sinusoïdes :

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos \left[{\frac {n\pi }{L}}x\right],&{\text{si }}n{\text{ est impair}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left[{\frac {n\pi }{L}}x\right],&{\text{si }}n{\text{ est pair}}\end{cases}}}$

Dans ce cas, on a

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}-U_{0},&{\text{si }}|x|<L/2{\text{ (puits)}}\\0,&{\text{si }}|x|>L/2{\text{ (barriere)}}\end{cases}}}$

Les énergies propres situées entre -U₀ et 0 sont quantifiées et il existe un continuum d'états d'énergies positives.

En résolvant l'équation de Schrodinger dans le puits, nous obtenons les différentes énergies propres :

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}.}$ Où ${\displaystyle k_{n}}$sont les vecteurs d'onde propres, obtenus en résolvant numériquement l'équation suivantes :

${\displaystyle tan\left({\frac {kL}{2}}\right)={\frac {\alpha }{k}}}$ où, ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {2m(E+U_{0})}{\hbar ^{2}}}}}$ .