Q-exponentielle

Pour tout réel ${\displaystyle q>1}$, la fonction ${\displaystyle e_{q}(z)}$ est une fonction entière de ${\displaystyle z}$. Pour ${\displaystyle q<1}$, ${\displaystyle e_{q}(z)}$ est régulière sur le disque ${\displaystyle |z|<1/(1-q)}$.

La fonction et son inverse sont liées par ${\displaystyle ~e_{q}(z)~e_{1/q}(-z)=1}$.

L'analogue de la relation ${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$ n'est pas réalisée pas pour ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ réels . Cependant, s'il s'agit d'opérateurs satisfaisant la relation de commutation ${\displaystyle xy=qyx}$, alors la relation ${\displaystyle e_{q}(x)e_{q}(y)=e_{q}(x+y)}$ est exacte^[3].

Pour ${\displaystyle -1<q<1}$, une fonction étroitement liée est ${\displaystyle E_{q}(z).}$ C'est un cas particulier des séries hypergéométriques basiques,

${\displaystyle E_{q}(z)=\;_{1}\phi _{1}\left({\scriptstyle {0 \atop 0}}\,;\,z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(-z)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}z)=(z;q)_{\infty }.}$

Il vient naturellement :

${\displaystyle \lim _{q\to 1}E_{q}\left(z(1-q)\right)=\lim _{q\to 1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}(-z)^{n}={\rm {e}}^{-z}.}$

${\displaystyle e_{q}(x)}$ a la représentation en produit infini suivante :

${\displaystyle e_{q}(x)=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{k}(1-q)x}}.}$

Comme d'autre part, ${\displaystyle \ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}}$, pour ${\displaystyle |q|<1}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln e_{q}(x)&=-\sum _{k=0}^{\infty }\ln(1-q^{k}(1-q)x)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(q^{k}(1-q)x)^{n}}{n}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{(1-q^{n})n}}\\&={\frac {1}{1-q}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{[n]_{q}n}}\end{aligned}}.}$

En prenant la limite lorsque ${\displaystyle q\to 1}$,

${\displaystyle \lim _{q\to 1}(1-q)\ln e_{q}\left({\frac {x}{1-q}}\right)=\mathrm {Li} _{2}(x),}$

où ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(x)}$ est le dilogarithme.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Q-exponential » (voir la liste des auteurs).

• (en) Jan L. Cieśliński, « Improved q-exponential and q-trigonometric functions », Applied Mathematics Letters, vol. 24, n^o 12,‎ 2011, p. 2110–2114 (DOI 10.1016/j.aml.2011.06.009, arXiv 1006.5652, S2CID 205496812)
• (en) Harold Exton, q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983 (ISBN 0853124914)
• (en) George Gasper, Basic Hypergeometric Series, Cambridge University Press, 2004 (ISBN 0521833574)
• (en) Mourad E. H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, 2005 (ISBN 9780521782012, DOI 10.1017/CBO9781107325982)
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