Règle de Raabe-Duhamel

Cette règle est un corollaire immédiat^[2] de celle de Kummer (section ci-dessous).

Dans le cas particulier où la suite ${\displaystyle \left(n\left({\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}-1\right)\right)_{n}}$ admet une limite réelle - α, ce qui équivaut à

${\displaystyle {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=1-{\frac {\alpha }{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)}$,

la règle de Raabe-Duhamel garantit que :

• si α < 1, ${\displaystyle \sum u_{n}}$ diverge ;
• si α > 1, ${\displaystyle \sum u_{n}}$ converge.

Si α = 1, l'exemple de la série de Bertrand montre que l'on ne peut pas conclure.

Soient ${\displaystyle x,y>0}$. La série de terme général ${\displaystyle u_{n}={\frac {x\left(1+x\right)\left(2+x\right)\dots \left(n+x\right)}{y\left(1+y\right)\left(2+y\right)\dots \left(n+y\right)}}}$ est divergente si ${\displaystyle y\leq x+1}$ et convergente si ${\displaystyle y>x+1}$^[3]. En effet : ${\displaystyle {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=1-{\frac {y-x}{n+1+y}}}$.

La règle de Kummer peut s'énoncer comme suit^[4],[5] :

Soient (u_n) et (k_n) deux suites strictement positives.

• Si ∑1/k_n = +∞ et si, à partir d'un certain rang, k_nu_n/u_n+1 – k_n+1 ≤ 0, alors ∑u_n diverge.
• Si lim inf (k_nu_n/u_n+1 – k_n+1) > 0, alors ∑u_n converge.

Henri Padé a remarqué en 1908^[6] que cette règle n'est qu'une reformulation des règles de comparaison des séries à termes positifs^[2].

Un autre corollaire de la règle de Kummer est celle de Bertrand^[7] (en prenant k_n = n ln(n)), dont le critère de Gauss^[8],[9] est une conséquence.