Série de Bertrand
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En mathématiques, et plus précisément en analyse, une série de Bertrand est une série de nombres réels de la forme :
- ,
où α et β sont deux nombres réels. Elles portent le nom du mathématicien Joseph Bertrand qui les a étudiées en 1842[1].
Pour , on retrouve les séries de Riemann données par .
Condition de convergence
Énoncé
Le résultat suivant énonce une condition nécessaire et suffisante de convergence pour les séries de Bertrand.
Théorème de Bertrand — La série de Bertrand associée à α et β converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1).
Démonstration par le critère intégral de Cauchy
La série de Bertrand a le même comportement que l'intégrale en +∞ de la fonction
qui est définie et strictement positive sur ]1,+∞[), car f est monotone au-delà d'une certaine valeur. On a donc la même conclusion que pour l'intégrale de Bertrand associée :
- si α > 1, la série converge ;
- si α < 1, elle diverge ;
- si α = 1, elle converge si et seulement si β > 1.
On peut de plus remarquer que si α < 0 ou si α = 0 et β ≤ 0, alors f est croissante au-delà d'une certaine valeur donc la divergence est grossière.
Démonstration par comparaison avec d'autres séries
Les cas α ≠ 1 se traitent facilement par comparaison avec des séries de Riemann et croissances comparées.
Si α = β = 1, la série diverge car son terme général est équivalent à celui, , d'une série télescopique divergente. Par comparaison avec ce cas limite, on en déduit que la série diverge si α = 1 et β ≤ 1 (et a fortiori si α < 1).
Si α = 1 et β ≠ 1, on peut procéder de même en remarquant que pour tout γ ≠ 0,
- ,
ou utiliser le test de condensation de Cauchy. On retrouve ensuite, par comparaison, les cas α ≠ 1.
