Radical de Jacobson

Intersection des idéaux maximaux d'un anneau commutatif From Wikipedia, the free encyclopedia

En algèbre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses idéaux maximaux. Cette notion est due à Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'étude systématique. Un élément x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A.

Démonstration

Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'après le théorème de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient à un idéal maximal.

  • Si x n'appartient pas à J, soit M un idéal maximal ne contenant pas x. Alors M + Ax = A donc il existe m dans M et a dans A tels que 1 = m – ax, et 1 + ax n'est pas inversible.
  • Réciproquement, si, pour un certain a dans A, 1 + ax appartient à un idéal maximal M, alors M ne contient pas x, donc x n'appartient pas à J.

Cet article est une ébauche concernant l’algèbre.

Photo de Nathan Jacobson, mathématicien qui a inventer et donné son nom au radical de Jacobson.

Dans le cas non commutatif, on définit le radical de Jacobson comme étant l'intersection de tous les idéaux maximaux à gauche et l'on a encore : x appartient au radical si et seulement si tous les 1 + ax sont inversibles à gauche[1]. C'est un idéal bilatère et on aurait pu définir de manière équivalente le radical de Jacobson comme l'intersection de tous les idéaux maximaux à droite[1].

Note et référence

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