Relation asymétrique
relation binaire où A est en relation avec B mais B n'est pas en relation avec A
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En mathématiques, une relation (binaire, interne) R est dite asymétrique[1],[2],[3],[4],[5],[6] si elle vérifie :
ou encore, si son graphe est disjoint de celui de sa relation réciproque.
L'asymétrie est parfois appelée « antisymétrie forte[7] », par opposition à l'antisymétrie (usuelle, ou « faible »)[8]. En effet, une relation est asymétrique si et seulement si elle est à la fois antisymétrique et antiréflexive[9].
Exemples
- les relations d'ordre strict, qui sont les relations transitives et asymétriques ;
- dans les entiers, la relation "est le successeur de" ;
- dans un ensemble de personnes, la relation « est enfant de » : personne n'est enfant d'un de ses enfants.
Une relation ne peut pas être à la fois symétrique et asymétrique, sauf si son graphe est vide.
Dénombrements
- Dans un ensemble à n éléments, il existe relations asymétriques.
- Les relations d'ordre strict, qui sont en bijection avec les relations d'ordre, ne possèdent pas de formule de dénombrement "fermée" ; voir la suite A001035 de l'OEIS.
- Les relations d'ordre strict total sont en nombre .
