Représentation conjuguée

En algèbre, si ρ est une représentation de groupe ou une représentation d'algèbre de Lie sur un espace vectoriel complexe V, on définit sa représentation conjuguée ρ sur le conjugué V de V.

• Si ρ est une représentation d'un groupe G, alors ρ est la représentation de G définie par :pour tout élément g de G, ρ(g) est l'application linéaire conjuguée de ρ(g). Pour une représentation unitaire, la représentation conjuguée est équivalente à la représentation duale.
• De même, si ρ est une représentation d'une algèbre de Lie réelle ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, alors ρ est la représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ définie par :pour tout élément u de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ρ(u) est l'application linéaire conjuguée de ρ(u)^[1].Si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est une algèbre de Lie (complexe) involutive (i.e. munie d'une involution * compatible avec le crochet de Lie), alorspour tout élément u de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ρ(u) est le conjugué de -ρ(u*).