Roue (mathématiques)

Une roue est un quadruplet ${\displaystyle (W,+,\cdot ,/)}$, où :

• ${\displaystyle W}$ est un ensemble
• ${\displaystyle +}$ et ${\displaystyle \cdot }$ sont des lois de compositions internes sur ${\displaystyle W}$
• ${\displaystyle /}$ est un opérateur unaire sur ${\displaystyle W}$

satisfaisant les opérations suivantes :

• ${\displaystyle +}$ et ${\displaystyle \cdot }$ sont commutatifs et associatifs, et possèdent chacun un élément neutre (généralement notés 0 et 1 respectivement).
• ${\displaystyle /}$ est une involution : ${\displaystyle \forall x\in W,\,//x=x}$
• ${\displaystyle /}$ est multiplicative : ${\displaystyle \forall x;y\in W,\,/(xy)=/x/y}$
• ${\displaystyle \forall x;y;z\in W,\,(x+y)z+0z=xz+yz}$
• ${\displaystyle \forall x;y;z\in W,\,(x+yz)/y=x/y+z+0y}$
• ${\displaystyle 0\cdot 0=0}$
• ${\displaystyle \forall x;y;z\in W,\,(x+0y)z=xz+0y}$
• ${\displaystyle \forall x;y\in W,\,/(x+0y)=/x+0y}$
• ${\displaystyle \forall x\in W,\,0/0+x=0/0}$

Les roues remplacent la division usuelle, opération binaire, par une multiplication avec une opération unaire appliquée à un seul argument. ${\displaystyle /x}$ similaire (mais non identique) à une inverse multiplicative ${\displaystyle x^{-1}}$, de sorte que ${\displaystyle a/b}$ devient une abréviation de ${\displaystyle a\cdot /b=/b\cdot a}$ mais pas de ${\displaystyle a\cdot b^{-1}}$ ni ${\displaystyle b^{-1}\cdot a}$ en général, et modifie les règles de l'algèbre de sorte que

• ${\displaystyle 0x\neq 0}$ en règle générale
• ${\displaystyle x/x\neq 1}$ en règle générale, car ${\displaystyle /x}$ n'est pas réellement l'inverse de ${\displaystyle x}$.

D'autres identités peuvent être déduites des points précédents :

• ${\displaystyle 0x+0y=0xy}$
• ${\displaystyle x/x=1+0x/x}$
• ${\displaystyle x-x=0x^{2}}$

où la négation ${\displaystyle -x}$ est définie par ${\displaystyle -x=ax}$ et ${\displaystyle x-y=x+(-y)}$ s'il existe ${\displaystyle a\in W}$ tel que ${\displaystyle 1+a=0}$ (donc dans le cas général ${\displaystyle x-x\neq 0}$ ).

Cependant, pour les valeurs de ${\displaystyle x}$ satisfaisant ${\displaystyle 0x=0}$ et ${\displaystyle 0/x=0}$, on garde les résultats habituels :

• ${\displaystyle x/x=1}$
• ${\displaystyle x-x=0}$

Si la négation peut être définie comme ci-dessus, alors le sous-ensemble ${\displaystyle \{x\in W\mid 0x=0\}}$ est un anneau commutatif. De même, tout anneau commutatif est un tel sous-ensemble d'une roue. Si ${\displaystyle x}$ est un élément inversible de l'anneau commutatif, alors ${\displaystyle x^{-1}=/x}$ Ainsi, chaque fois que ${\displaystyle x^{-1}}$ est défini, on a ${\displaystyle x^{-1}=/x}$ mais ${\displaystyle /x}$ est toujours défini, même pour ${\displaystyle x=0}$.^[1]

Soit ${\displaystyle A}$ un anneau commutatif, et ${\displaystyle S}$ un sous-monoïde multiplicatif de ${\displaystyle A}$ On définit la relation de congruence ${\displaystyle \sim _{S}}$ sur ${\displaystyle A^{2}}$ par :

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})}$ ssi ${\displaystyle \exists s_{x},s_{y}\in S,\,(s_{x}x_{1},s_{x}x_{2})=(s_{y}y_{1},s_{y}y_{2})}$.

On définit alors la roue des fractions de ${\displaystyle A}$ par rapport à ${\displaystyle S}$ comme le quotient ${\displaystyle A^{2}~/{\sim _{S}}}$ (et, en désignant la classe d'équivalence contenant ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ par ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$), avec :

${\displaystyle 0=[0_{A},1_{A}]}$           (neutre additif)

${\displaystyle 1=[1_{A},1_{A}]}$           (neutre multiplicatif)

${\displaystyle /[x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]}$           (division)

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]}$           (addition)

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]}$           (multiplication)

En général, cette structure n'est pas un anneau à moins d'être l'anneau nul, car ${\displaystyle 0x\neq 0}$ au sens habituel – ici avec ${\displaystyle x=[0,0]}$ nous obtenons ${\displaystyle 0x=[0,0]}$, bien que cela implique que ${\displaystyle \sim _{S}}$ est une relation inappropriée sur notre roue ${\displaystyle W}$.

Cela découle du fait que ${\displaystyle [0,0]=[0,1]\implies 0\in S}$, ce qui n'est pas vrai en général.^[1]

Le cas particulier de ce qui précède, étant donné un corps commutatif, engendre une droite projective prolongée en une roue par l'ajout d'une nullité notée ⊥ ou Φ, telle que ${\displaystyle 0/0=\bot }$ La droite projective est elle-même une extension du champ original par un élément ${\displaystyle \infty }$, où ${\displaystyle z/0=\infty }$ pour tout élément ${\displaystyle z\neq 0}$ sur le terrain. Cependant, ${\displaystyle 0/0}$ est toujours indéfini sur la droite projective, mais est défini dans son extension à une roue.

Plus formellement, on définit la roue engendrée par un corps ${\displaystyle \mathbb {K} }$ par le quotient ${\displaystyle \mathbb {K} ^{2}/\sim }$ où ${\displaystyle (x_{1};y_{1})\sim (x_{2};y_{2})}$ ssi ${\displaystyle x_{1}=y_{1}=x_{2}=y_{2}=0}$ ou ${\displaystyle (x_{1};y_{1})}$ et ${\displaystyle (y_{1};y_{2})}$ sont tous deux non-nuls et colinéaires.

On peut alors définir l'addition, la multiplication et leurs éléments neutres comme sur la droite projective. On définit également la division par ${\displaystyle /[x\,y]=[y\,x]}$ où ${\displaystyle [x\,y]}$ est la classe d'équivalence de ${\displaystyle (x;y)}$, ainsi que la nullité par ${\displaystyle \bot =[0\,0]={(0;0)}}$

En partant des nombres réels, la droite projective correspondante est géométriquement un cercle auquel on a ajouté le point ${\displaystyle 0/0}$ Elle donne la forme à l'origine du terme « roue ». Ou, en partant des nombres complexes, la droite projective correspondante est une sphère (la sphère de Riemann), et le point supplémentaire donne alors une version tridimensionnelle d'une roue.