Règle du produit

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En analyse mathématique, la règle du produit, aussi appelée règle de Leibniz, est une formule utilisée afin de trouver les dérivées de produits de fonctions. Sous sa forme la plus simple, elle s'énonce ainsi :

Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles d'une variable réelle, dérivables en un point $x$ . Alors leur produit $fg$ est aussi dérivable en $x$ et $(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ .

En notation de Leibniz, cette formule s'écrit :

{\frac {\mathrm {d} (f\,g)}{\mathrm {d} x}}(x)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x)g(x)+f(x){\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}(x)

Une application importante de la règle du produit est la méthode d'intégration par parties.

Soit $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ la fonction définie par :

h\left(x\right)=(x+1)(x^{2}+1)

Pour trouver sa dérivée $h'$ avec la règle du produit, on pose $f(x)=x+1$ et $g(x)=x^{2}+1$ . Les fonctions $h$ , $f$ et $g$ sont partout dérivables car polynomiales.

On trouve ainsi :

{\begin{aligned}\forall x\in \mathbb {R} \quad h'(x)&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\&=(x^{2}+1)+(x+1)(2x)\\&=3x^{2}+2x+1.\end{aligned}}

On peut le vérifier en développant d'abord l'expression de $h$ : $h (x) = x 3 + x 2 + x + 1$ , puis en dérivant cette somme terme à terme : on retrouve bien $h' (x) = 3 x 2 + 2 x + 1$ .

Démonstration de la règle du produit

Démonstration analytique

Une preuve de la règle du produit peut être donnée en utilisant les propriétés des limites et la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement^[1].

Démonstration simplifiée, et illustrée géométriquement

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables en $x$ . Définissant $u=f(x)$ et $v=g(x)$ , l'aire $uv$ du rectangle (cf. Figure 1) représente $f(x)g(x)$ .

Si $x$ varie d'une quantité $\Delta x$ , les variations correspondantes en $u$ et $v$ sont désignées par $\Delta u$ et $\Delta v$ .

La variation de l'aire du rectangle est alors :

{\begin{aligned}\Delta (uv)&=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv\\&=(\Delta u)v+u(\Delta v)+(\Delta u)(\Delta v),\end{aligned}}

c'est-à-dire la somme des trois zones ombrées sur la Figure 1 ci-contre.

En divisant par $\Delta x$ :

{\frac {\Delta (uv)}{\Delta x}}=\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)v+u\left({\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right)+\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)\left({\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right)\Delta x.

En prenant la limite quand $\Delta x\rightarrow 0$ , on obtient :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(uv)=\left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\right)v+u\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\right).

Généralisations

Produit de plusieurs fonctions

Soient $f_{1},\dots ,f_{n}$ des fonctions dérivables en $x$ , on a alors :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\prod _{i=1}^{n}f_{i}(x)=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)$

Cette relation peut être démontrée par récurrence.

Démonstration

Pour $n=1$ , la relation est trivialement vraie.

Nous devons maintenant montrer que si la formule est vraie pour $n=k\geq 1$ , alors elle est aussi vraie pour $n=k+1$ .

Soit une fonction $h$ définie par :

$h(x)=\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)$

Avec $f_{1},\dots ,f_{k}$ des fonctions quelconques dérivables en $x$ .

Soit encore une fonction $f_{k+1}$ , elle-même dérivable en $x$ , la dérivée de $(h\cdot f_{k+1})$ est alors donnée par la règle du produit :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}hf_{k+1}(x)={\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} x}}(x)f_{k+1}(x)+{\frac {\mathrm {d} f_{k+1}}{\mathrm {d} x}}(x)h(x).

Cela revient à écrire, avec l'hypothèse de la récurrence :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\prod _{i=1}^{k+1}f_{i}(x)=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)f_{k+1}(x)+{\frac {\mathrm {d} f_{k+1}}{\mathrm {d} x}}(x)\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x).

En simplifiant cette dernière expression on obtient finalement :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\prod _{i=1}^{k+1}f_{i}(x)=\sum _{i=1}^{k+1}\left({\frac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right).

La formule est donc aussi vraie pour $n=k+1$ . Par induction, la formule est donc vraie pour tous les entiers $n\geq 1$ .

Exemple :

Avec trois fonctions $f$ , $g$ et $h$ , dérivables en $x$ , on a :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(f\,g\,h)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,g\,h+f\,{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}\,h+f\,g\,{\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} x}}.

Par exemple, pour trouver la dérivée de $(x+1)(x^{2}+1)({\sqrt {x}}-2)$ :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(x+1)(x^{2}+1)({\sqrt {x}}-2)\right]=(x^{2}+1)({\sqrt {x}}-2)+(x+1)(2x)({\sqrt {x}}-2)+(x+1)(x^{2}+1)\left({\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\right).

Dérivées d'ordre supérieur (règle de Leibniz)

La règle du produit peut aussi être généralisée en la règle de Leibniz pour la dérivation d'ordre supérieur d'un produit de deux fonctions d'une variable réelle^[2].

Soient $n$ un entier supérieur ou égal à 1, et $f$ et $g$ deux fonctions $n$ fois dérivables en un certain point $x$ , alors leur produit $fg$ est aussi $n$ fois dérivable au point $x$ , et la dérivée d'ordre $n$ est donnée par :
$(fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\ f^{(n-k)}(x)\ g^{(k)}(x)$
où les nombres entiers ${\tbinom {n}{k}}$ sont les coefficients binomiaux, et où l'on convient que la « dérivée zéro-ième » de $f$ , notée $f^{(0)}$ , est la fonction $f$ elle-même.

Cette formule se démontre par récurrence sur $n$ ^[3]. La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton.

On peut aussi démontrer la formule de Leibniz en utilisant un développement de Taylor-Young.

Dérivées d'ordre supérieur d'un produit de plusieurs fonctions

La formule suivante généralise simultanément les deux précédentes :

\left(\prod _{i=1}^{m}f_{i}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}\prod _{i=1}^{m}f_{i}^{(k_{i})}

,

où les entiers

{n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{m}k_{i}!}}

sont les coefficients multinomiaux. La preuve peut se faire par récurrence sur m, le nombre de fonctions considérées, en utilisant la formule (qui se réduit à la formule de Leibniz) au rang m=2.

Dimensions supérieures

La règle du produit s'étend à des fonctions de plusieurs variables réelles (définies sur ℝⁿ) ou plus généralement, des fonctions dont la variable est un vecteur :

Soient $E$ un espace vectoriel normé et $f, g : E \to$ ℝ deux fonctions différentiables en un point $x$ de $E$ . Alors, le produit $f g$ est différentiable en $x$ et sa différentielle en ce point est la forme linéaire continue

$D_{x}(fg):E\to \mathbb {R} ,\quad h\mapsto D_{x}f(h)\,g(x)+f(x)\,D_{x}g(h).$

On dispose de résultats analogues pour les dérivées directionnelles et les dérivées partielles.

Fonctions holomorphes

Par le même calcul que ci-dessus mais en remplaçant la variable réelle par une variable complexe, on démontre la règle suivante pour un produit de fonctions holomorphes.

Soient $U$ un ouvert de ℂ et $f, g : U \to$ ℂ des fonctions holomorphes. Alors, le produit $f g$ est holomorphe et :

$(fg)'=f'g+fg'.$

On peut aussi le déduire de la sous-section précédente (pour $E$ = ℂ) et des équations de Cauchy-Riemann.

Autres fonctions, autres produits

Si l'on regarde de près la démonstration de la règle du produit, on se rend compte que l'ingrédient principal, outre la dérivabilité des fonctions, est la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition (le fait que a(b + c) = ab + ac). Or les mathématiciens ont pris l'habitude de n'appeler produit que les opérations bénéficiant de cette propriété. Par contre tous les produits ne sont pas commutatifs (ab = ba quand a et b sont des nombres, mais ce n'est pas vrai pour d'autres produits). On peut donc en toute confiance appliquer la règle du produit à d'autres produits d'autres fonctions que la multiplication de fonctions numériques, mais en prenant garde de bien conserver l'ordre des facteurs quand le produit n'est pas commutatif.

Produit scalaire :

Soient ${\vec {u}}(t)$ et ${\vec {v}}(t)$ deux vecteurs fonctions du temps t (et dérivables). Alors :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}[{\vec {u}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)]={\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}}{\mathrm {d} t}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {u}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}.

Produit vectoriel :

Soient ${\vec {u}}(t)$ et ${\vec {v}}(t)$ deux vecteurs fonctions du temps t (et dérivables). Alors :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}[{\vec {u}}(t)\wedge {\vec {v}}(t)]={\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}}{\mathrm {d} t}}\wedge {\vec {v}}+{\vec {u}}\wedge {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}.

Produit mixte :

Soient ${\vec {u}}(t)$ , ${\vec {v}}(t)$ et ${\vec {w}}(t)$ trois vecteurs fonctions du temps t (et dérivables). Alors :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\{{\vec {u}}(t)\cdot [{\vec {v}}(t)\wedge {\vec {w}}(t)]\}={\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}}{\mathrm {d} t}}\cdot [{\vec {v}}\wedge {\vec {w}}]+{\vec {u}}\cdot \left[{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\wedge {\vec {w}}\right]+{\vec {u}}\cdot \left[{\vec {v}}\wedge {\frac {\mathrm {d} {\vec {w}}}{\mathrm {d} t}}\right].

Produit matriciel :

Soient A(t) et B(t) deux matrices fonctions du temps t (et dérivables) et de dimensions telles que le produit AB existe. Alors :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}[A(t)B(t)]={\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}B+A{\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} t}},

et de même en remplaçant partout le produit matriciel ordinaire par le produit de Hadamard ou celui de Kronecker.

De même que dans le § « Dimensions supérieures », on peut, dans tous ces exemples, remplacer la variable réelle (« temps ») par une variable vectorielle.