Réfraction du son par l'atmosphère

Les températures sont caractérisées par des profils verticaux moyens dont il existe de nombreuses variantes^[2]. Ces profils possèdent des minima vers 10-20 km et 80-90 km d'altitude (voir courbe). Au-delà existe une forte augmentation due au rayonnement solaire et aux faibles échanges convectifs.

On sépare généralement les vents supposés horizontaux suivant leur origine et les tranches d'altitude dans lesquelles ils sont importants :

• les vents de basse altitude dans la couche limite atmosphérique. Typiquement cette région s'étend jusqu'à une altitude de 50 m à 3 km. Il s'agit d'une couche de cisaillement caractérisée (à une certaine distance du sol) par un profil de vitesse parallèle au sol, de type couche limite turbulente dû à Prandtl^[3] :

${\displaystyle V_{x}(z)=\pm \left({\frac {V^{*}}{\chi }}\log z+C^{te}\right)\,,\quad z>z_{0}}$

où  ${\displaystyle z}$  est l'altitude,  ${\displaystyle V^{*}}$  la vitesse pariétale de cisaillement (ici un simple paramètre),  ${\displaystyle z_{0}}$  l'épaisseur de sous-couche limite laminaire et  ${\displaystyle \chi \approx 0.4}$ . Le signe  ${\displaystyle \pm }$  caractérise le sens du vent.

• les courants-jets entre 7 et 16 km d'altitude, d'une largeur de quelques centaines de kilomètres, pouvant atteindre 100 m s⁻¹.
• les vents liés à la circulation atmosphérique, pouvant atteindre 300 m s⁻¹ à 150 km d'altitude^[4].

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Considérons un rayon acoustique dans le plan  ${\displaystyle (x,z)}$ ,  ${\displaystyle z}$  étant l'altitude, de pente initiale  ${\displaystyle \theta _{0}}$ , donné par sa fonction eikonale à l'instant initial :

${\displaystyle s_{x}(t_{0})={\frac {\cos \theta (z_{0})}{c(z_{0})}}\,,\quad s_{z}(t_{0})={\frac {\sin \theta (z_{0})}{c(z_{0})}}}$

Il respecte l'équation eikonale :

${\displaystyle |\mathbf {s} _{0}|^{2}=s_{x}^{2}+s_{z}^{2}=c(z_{0})^{-1}}$

où ${\displaystyle c}$  est la vitesse du son dans un gaz parfait :

${\displaystyle c=\alpha T^{\frac {1}{2}}\,,\quad \alpha =\left(\gamma {\frac {R}{\overline {M}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \gamma }$  est l'indice adiabatique,  ${\displaystyle R}$  la constante universelle des gaz parfaits et  ${\displaystyle {\overline {M}}}$  la masse molaire moyenne de l'air, variable avec la composition, celle-ci variant avec l'altitude à partir de 90 km^[5].

La trajectoire du rayon  ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$  est donnée par^[6],[7],[8] :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}=c^{2}\mathbf {s} }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\nabla c}{c}}}$

Dans le plan horizontal la température est supposée constante donc  ${\displaystyle {\frac {\cos \theta }{c}}=\alpha ^{-1}{\sqrt {T}}\cos \theta }$  est constant et on peut écrire que pour toute altitude  ${\displaystyle z(t)}$ 

${\displaystyle \cos \theta (z)={\sqrt {\frac {T(z)}{T(z_{0})}}}\cos \theta (z_{0})}$

Cette équation exprime la loi de Snell-Descartes : le rayon est courbé vers la région de plus faible température et donc de vitesse plus faible, de la même façon qu'un rayon lumineux est courbé vers une région de plus grand indice de réfraction (et de vitesse de groupe plus faible).

La réversibilité de propagation est vérifiée.

La résolution du système donnant les trajectoires permet de montrer que leur rayon de courbure local est^[8] :

${\displaystyle R(z)={\frac {c}{{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} z}}\cos \theta }}={\frac {2T}{{\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} z}}\cos \theta }}}$

Le rayon de courbure est minimal pour un rayon horizontal ( ${\displaystyle \theta =0}$ ).

Si on prend l'exemple d'un lancer de rayons à partir d'une source au sol (voir figure) on voit la forte réfraction sur la région de l'atmosphère où le gradient de température est positif et élevé, à une altitude supérieure à 100 km, au point de renvoyer le rayon vers le sol. On observe les changements de courbure à  ${\displaystyle 19,50,86~km}$ , valeurs correspondantes aux inversions de température dans l'atmosphère US66.