Régression quantile

On définit la fonction quantile conditionnelle de la variable aléatoire y conditionnellement au vecteur de variables explicatives x pour le quantile τ comme

la plus petite valeur de y telle que la fonction de répartition de y conditionnellement à x soit au moins égale à τ.

Formellement, on adopte la notation suivante^[7] :

${\displaystyle Q_{\tau }(y_{i}|x_{i})=\inf \left\{y:F_{y}(y|x_{i})\geqslant \tau \right\}}$

Si on se restreint au cas où les quantiles conditionnels sont des fonctions linéaires du vecteur de variables explicatives x, on définit^[8] :

${\displaystyle \beta _{\tau }={\text{argmin}}_{b}\mathbb {E} \left[\rho _{\tau }(y_{i}-x_{i}'b)\right]}$

avec^{[Note 2]}

${\displaystyle \rho _{\tau }(u)=(\tau -\mathbb {I} (u\leqslant 0))u}$

L'estimateur des paramètres de la régression quantile est alors obtenu en minimisant l'équivalent empirique de la fonction objectif^[9] :

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{\tau }={\text{argmin}}_{b}{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left[\rho _{\tau }(y_{i}-x_{i}'b)\right]}$

• (en) Roger Koenker, Quantile Regression, Cambridge University Press, 2005

• Méthode médiane-médiane
• Fonction quantile

• (en) Roger Koenker, « Quantile Regression », sur Econometrics at the University of Illinois (consulté le 14 mars 2012)

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