Rêve du deuxième année

En mathématiques, le rêve du deuxième année désigne les deux identités :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,\mathrm {d} x&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}\approx 1,291285997...\\\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\approx 0,783430510...\end{aligned}}}$

Voir la suite A073009 de l'OEIS et la suite A083648 de l'OEIS.

Elles ont été découvertes en 1697 par Jean Bernoulli.

Le nom « rêve du deuxième année », apparu en 2004^[1], fait référence au « rêve du première année » qui est la fausse^[a] identité (x + y)ⁿ = xⁿ + yⁿ. À l'inverse, les deux identités du rêve du deuxième année (en anglais sophomore's dream), qui donnent la même impression d'être « trop belles pour être vraies » — en particulier la première — sont vraies.