Signal analytique

Soit un signal réel ${\displaystyle x(t)}$, la transformée de Hilbert de ${\displaystyle x(t)}$ est définie par:$${\displaystyle {\mathcal {H}}\{x\}(t)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}d\tau ={\dfrac {1}{\pi t}}\ast x(t)}$$Soit un signal réel ${\displaystyle x(t),\;\forall t\in \mathbb {R} }$, on dit que ${\displaystyle x_{a}(t)}$ est le signal analytique formé à partir de ${\displaystyle x(t)}$ s'il est holomorphe dans le demi-plan complexe supérieur et fonction de la variable ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$. Sous ces conditions, il est défini par:$${\displaystyle x_{a}(t)=x(t)+\imath {\mathcal {H}}\{x\}(t)=x(t)\ast \left(\delta (t)+{\dfrac {\imath }{\pi t}}\right)}$$Le terme ${\displaystyle {\mathcal {H}}\{x\}(t)}$ (resp. ${\displaystyle x(t)}$) est appelé l'information en quadrature (resp. en phase). La précédente équation provient du filtre ${\displaystyle {\mathcal {H_{a}}}}$ relatif à la transformée de Hilbert, soit:$${\displaystyle {\mathcal {H_{a}}}(\omega )={\begin{cases}0&{\text{si }}\omega <0\\2&{\text{si }}\omega \geq 0\end{cases}}=1+\operatorname {sgn}(\omega )}$$En effet, la symétrie du spectre fréquentiel d'un signal réel permet de ne considérer que les fréquences positives. De plus, étant donné la transformée de Fourier de ${\displaystyle \operatorname {sgn}(t)}$, on obtient la réponse impulsionnelle du filtre, soit:$${\displaystyle h_{a}(t)=\delta (t)+{\dfrac {\imath }{\pi t}}}$$

En utilisant la définition de la transformée de Hilbert, on obtient également^[1]: ${\displaystyle x_{a}(t)=x(t)+j\cdot {\widehat {x}}(t)}$, où ${\displaystyle {\widehat {x}}(t)={\mathcal {H}}\{x\}(t)}$.

Selon la définition d'enveloppe complexe, on a aussi^[2] : ${\displaystyle x_{a}(t)=e_{x}(t).\exp(j\omega t)}$

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