Sommation d'Euler

En analyse, pour les séries numériques convergentes et divergentes, la sommation d'Euler est une méthode de sommation. Autrement dit, c'est une méthode permettant d'attribuer une valeur à une série, différente de la méthode conventionnelle de calcul des limites des sommes partielles. Étant donnée une série Σ a _n, si sa transformée d'Euler converge vers une somme, cette somme est appelée somme d'Euler de la série d'origine. Outre sa fonction de définition des valeurs des séries divergentes, la sommation d'Euler permet d'accélérer la convergence des séries.

La sommation d'Euler peut être généralisée à une famille de méthodes notées (E, q ), pour q ≥ 0. La somme (E, 1) est la somme d'Euler ordinaire. Toutes ces méthodes sont strictement plus faibles que la sommation de Borel ; pour q > 0 elles sont incomparables avec la sommation d'Abel.

Pour une série $\sum a n$ , on considère la série entière définie pour tout complexe sur le disque unité :

S(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.

Si la limite de $S$ en 1 existe et est finie, on définit cette limite comme la somme $\sum a n$ au sens d'Euler.

Pour une certaine valeur $q$ , on peut généraliser la somme d'Euler (si elle converge pour cette valeur de $q$ ) correspondant à une sommation formelle particulière comme^[1]:

(\mathrm {E} ,q)\,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+q)^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}q^{n-k}a_{k}.

Si toutes les sommes formelles convergent, la somme d'Euler sera égale au membre de gauche. Cependant, l'utilisation de la sommation d'Euler peut accélérer la convergence (particulièrement utile pour les séries alternées) ; elle peut aussi parfois donner une signification utile aux sommes divergentes.

Pour justifier l'approche, on peut noter qu'en inversant les signes somme, la sommation d'Euler se réduit à la série initiale, car

q^{j+1}\sum _{i=j}^{\infty }{\binom {i}{j}}{\frac {1}{(1+q)^{i+1}}}=1.

Cette méthode elle-même ne peut pas être améliorée par une application itérée, car

(\mathrm {E} ,q_{1})(\mathrm {E} ,q_{2})\sum =\left(\mathrm {E} ,{\frac {q_{1}q_{2}}{1+q_{1}+q_{2}}}\right)\sum .

Exemples

En utilisant $q = 1$ pour la somme formelle $\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}P_{k}(j)$ on obtient $\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}(-1)^{j}P_{k}(j),$ si $P k$ est un polynôme de degré k. On peut voir que la somme interne serait nulle pour $i > k$ , donc dans ce cas la sommation d'Euler d'une série infinie revient à une somme finie.
Le choix particulier $P_{k}(j):=(j+1)^{k}$ fournit une représentation explicite des nombres de Bernoulli, puisque ${\frac {B_{k+1}}{k+1}}=-\zeta (-k)$ (la fonction zêta de Riemann ). En effet, la somme formelle dans ce cas diverge puisque k est positif, mais l'application de la sommation d'Euler à la fonction zêta (plus précisément à la fonction êta de Dirichlet qui lui est associée) donne : ${\frac {1}{1-2^{k+1}}}\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{k}$ qui est de forme fermée.
$\sum _{j=0}^{\infty }z^{j}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+q)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}q^{j+1}z^{j}={\frac {q}{1+q}}\sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {1+qz}{1+q}}\right)^{i}$

Avec un choix approprié de

q

(c'est-à-dire égal ou proche de −

1 / z

) cette série converge vers

1 / 1 - z

.

On retrouve ainsi le résultat 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ = –1.

Sommation d'Euler

Exemples

Voir aussi

Références

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