Sommation périodique

En mathématiques, toute fonction intégrable ${\displaystyle s(t)}$ peut être transformée en une fonction périodique ${\displaystyle s_{P}(t)}$ avec la période P en sommant les décalages de la fonction ${\displaystyle s(t)}$ par des multiples entiers de P. C'est ce qu'on appelle la sommation périodique :

${\displaystyle s_{P}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(t+nP)}$

De façon alternative, quand ${\displaystyle s_{P}(t)}$ est représentée comme une série de Fourier, les coefficients de Fourier sont égaux aux valeurs de la transformée de Fourier (continue), ${\displaystyle S(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{s(t)\},}$ évaluées en des valeurs prise à un intervalle ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$^[1],[2]. Cette identité est une forme de la formule de sommation de Poisson. De même, une série de Fourier dont les coefficients sont des échantillons de ${\displaystyle s(t)}$ à intervalles constants ( T ) équivaut à une sommation périodique de ${\displaystyle S(f),}$ ce qui est connu sous le nom de transformée de Fourier à temps discret.

La sommation périodique d'un delta de Dirac est le peigne de Dirac. De même, la sommation périodique d'une fonction intégrable est sa convolution avec le peigne de Dirac.