Sommet d'une courbe
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En géométrie différentielle, un sommet d'une courbe plane est un point où la dérivée première de la courbure s'annule[1]. Il correspond généralement à un maximum ou un minimum local de la courbure, et certains auteurs définissent un sommet comme correspondant plus spécifiquement un extremum local de la courbure. Cependant, d'autres cas particuliers peuvent se produire, par exemple lorsque la dérivée seconde est également nulle, ou lorsque la courbure est constante. Pour les courbes de l'espace, en revanche, un sommet est un point où la torsion s'annule.
Une hyperbole possède deux sommets, un sur chaque branche ; ils correspondent au minimum de la distance entre les deux branches de l'hyperbole et sont situés sur son axe principal. L'unique sommet d'une parabole est situé sur l'axe de symétrie et, pour une équation de la forme :
- ,
on l'obtient en mettant le trinôme sous forme canonique ou par dérivation. Une ellipse possède quatre sommets, deux sur le grand axe et deux sur le petit axe.
Pour un cercle, qui a une courbure constante, chaque point est un sommet.
Osculation et relation avec la développée
Les sommets sont les points où la courbe a un contact d'ordre 4 avec le cercle osculateur. Les points génériques d'une courbe n'ont en effet qu'un contact d'ordre 3 avec leur cercle osculateur.
La développée de la courbe présente en général un point de rebroussement lorsque le point correspondant de la courbe est un sommet[2]. D'autres singularités plus dégénérées et instables peuvent se produire à des sommets d'ordre supérieur, pour lesquels le cercle osculateur a un contact d'ordre supérieur à quatre.
