Sous-espace projectif

On suppose que ${\displaystyle E\,\!}$ est un espace vectoriel, ${\displaystyle P(E)\,\!}$ l'espace projectif associé et ${\displaystyle \pi }$ l'application de projection de ${\displaystyle E\,\!}$ sur ${\displaystyle P(E)\,\!}$.

Si ${\displaystyle F\,\!}$ est un sous-espace vectoriel non réduit à ${\displaystyle \{0\}\,\!}$, on peut encore définir l'espace projectif associé ${\displaystyle P(F)\,\!}$ sur ${\displaystyle F\,\!}$. On peut également considérer le sous-ensemble de ${\displaystyle P(E)\,\!}$ formé par les ${\displaystyle \pi (x)\,\!}$ tels que ${\displaystyle \,\!x\in F}$, c'est-à-dire l'image ${\displaystyle \pi (F)\,\!}$. Ces deux modes d'introduction sont équivalents et permettent de définir la notion de sous-espace projectif.

Lorsque le sous-espace vectoriel est de dimension k+1, on dit que le sous-espace projectif associé est de dimension k. Avec cette convention, les sous-espaces vectoriels de E de dimension k + 1 sont en correspondance bijective avec les sous-espaces projectifs de P(E) de dimension k^[1]. En particulier on appellera droite projective de ${\displaystyle P(E)\,\!}$ un sous-espace obtenu à partir d'un plan vectoriel de ${\displaystyle E\,\!}$, mais hyperplan projectif tout sous-espace projectif défini à partir d'un hyperplan vectoriel.

Dans le cas où l'espace vectoriel est défini sur le corps des réels, ${\displaystyle P(F)\,\!}$ est en fait une sous-variété de ${\displaystyle F\,\!}$, effectivement de dimension k.

Pour toute partie ${\displaystyle A\,\!}$ de ${\displaystyle P(E)\,\!}$ on peut définir le sous-espace projectif engendré par ${\displaystyle A\,\!}$, comme le plus petit sous-espace projectif de ${\displaystyle P(E)\,\!}$ contenant ${\displaystyle A\,\!}$ ; on le notera ${\displaystyle Proj(A)\,\!}$.

Il correspond au sous-espace vectoriel engendré par l'image réciproque ${\displaystyle \pi ^{-1}(A)\,\!}$ de ${\displaystyle A\,\!}$ par la projection canonique : ${\displaystyle Proj(A)=\pi (Vect(\pi ^{-1}(A)))\,\!}$

Si ${\displaystyle P(F)\,\!}$ et ${\displaystyle P(G)\,\!}$ sont des sous-espaces projectifs de ${\displaystyle P(E)\,\!}$, l'intersection ${\displaystyle P(F)\cap P(G)\,\!}$ est un sous-espace projectif correspondant au sous-espace vectoriel ${\displaystyle F\cap G\,\!}$ de ${\displaystyle E\,\!}$ : ${\displaystyle P(F)\cap P(G)=P(F\cap G)\,\!}$.

D'autre part l'union de deux sous-espaces projectifs n'est pas en général un sous-espace projectif mais on peut considérer le sous-espace projectif engendré par ${\displaystyle P(F)\,\!}$ et ${\displaystyle P(G)\,\!}$, qui correspond au sous-espace vectoriel somme ${\displaystyle F+G\,\!}$ : ${\displaystyle Proj(P(F)\cup P(G))=P(F+G)\,\!}$.

Les premières propriétés des espaces projectifs s'expriment en termes d' incidence : les résultats sont beaucoup plus clairs que dans le cas vectoriel.

Pour tout couple de sous-espaces projectifs de dimensions finies on a la relation fondamentale :

${\displaystyle dim\,P(F)+dim\,P(G)=dim\,P(F+G)+dim\,P(F\cap G)\,\!}$.

Alors que dans le cas d'un espace affine on a seulement inégalité (voir formule de Grassman).

Application fondamentale de ce résultat : si ${\displaystyle P(E)\,\!}$ est un plan projectif, et si ${\displaystyle P(F)\,\!}$ et ${\displaystyle P(G)\,\!}$ sont des droites projectives, on obtient ${\displaystyle 2=dim\,P(F+G)+dim\,P(F\cap G)\,\!}$. Or l'espace somme ${\displaystyle P(F+G)\,\!}$ est inclus dans ${\displaystyle P(E)\,\!}$, donc de dimension inférieure ou égale à 2. On obtient ${\displaystyle dim\,P(F\cap G)\geq 0\,\!}$, c'est-à-dire que deux droites du plan projectif ont toujours au moins un point commun, le point à l'infini.

Autrement dit il n'y a pas de droites parallèles dans un plan projectif, et plus généralement pas de notion de parallélisme en géométrie projective. On voit ici le progrès par rapport à la géométrie affine : la géométrie projective va nous permettre d'éliminer de nombreux cas particuliers dus au parallélisme.

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