Sphère de Brieskorn

Brieskorn^[5] raconte comment Mumford^[6] s'est intéressé à la singularité en zéro de la surface ${\displaystyle x^{2}+y^{3}+z^{5}=0}$, dont il montre qu'elle est rationnelle et qu'elle a l'homologie d'une 3-sphère. La conjecture qu'il s'agit d'un résultat plus général est discutée entre John Milnor, John Nash, et Egbert Brieskorn. Ce dernier a trouvé l'article de Frédéric Pham^[4], un physicien dont les préoccupations étaient de comprendre les singularités des intégrales de Feynman, dans lequel est prouvée une version plus générale du théorème de Picard-Lefschetz. Ce théorème, qui donne la monodromie aux points critiques, a été étendu par Pham précisément aux singularités du type considéré par Brieskorn. C'est par ce moyen que Brieskorn a pu calculer l'homologie, et ainsi prouver la conjecture.

On se place en dimension ${\displaystyle n=3}$. Pour tous entiers ${\displaystyle p,q,r}$ premiers entre eux et supérieurs à 2, la 3-sphère de Brieksorn ${\displaystyle \Sigma (p,q,r)}$ est définie comme l'intersection de la 5-sphère ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}}$ avec l'hypersurface d'équation ${\displaystyle z_{1}^{p}+z_{2}^{q}+z_{3}^{r}=0}$ dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$.

Une des propriétés remarquables de cette construction est que chaque 3-sphère de Brieskorn est une sphère d'homologie, c'est-à-dire que l'homologie de toute 3-sphère de Brieskorn est identique à celle de la 3-sphère standard : ${\displaystyle H_{1}(\Sigma (p,q,r);\mathbb {Z} )=0}$. Comme il s'agit d'une variété orientable, on a en outre par dualité de Poincaré que ${\displaystyle H_{0}(\Sigma (p,q,r);\mathbb {Z} )\simeq H_{3}(\Sigma (p,q,r);\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} }$.

Dans un article de 1975, John Milnor a calculé les homéomorphismes des 3-sphères de Brieskorn^[7] : ${\displaystyle \Sigma (p,q,r)}$ est un quotient d'un groupe de Lie de dimension 3 par un sous-groupe discret co-compact, et donc est homéomorphe à

• un quotient de ${\displaystyle SU(2)}$ par un sous-groupe fini si ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}>1}$ ;
• un quotient du groupe de Heisenberg par un réseau si ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=1}$ ;
• un quotient de ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ par un réseau si ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1}$.

Milnor montre également dans cet article que ${\displaystyle \Sigma (2,3,5)}$ est en fait la sphère d'homologie de Poincaré.

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