Statique du point

On appelle point matériel un objet idéal de dimensions nulles (assimilable à un point) mais doté d'une masse.

Un point matériel est immobile ou en mouvement de translation uniforme dans un référentiel galiléen si la somme des forces extérieures qui s'exercent sur lui est nulle (les forces s'opposent et s'annulent)^[1] :

${\displaystyle \sum _{i}{\vec {\mathrm {F} }}_{i}={\vec {0}}}$

Ceci dérive de la première loi de Newton.

Par la suite, on représentera des objets volumiques, mais comme on ne s'intéresse ici qu'au mouvement du centre d'inertie G de cet objet (cf. cinématique), tout se passe comme si les forces s'appliquaient sur G, le point matériel est alors G doté de la masse de l'objet.

La force est un modèle (sous la forme d'un vecteur) qui sert à représenter les interactions indépendamment de leur cause (poids, traction d'un câble, force électrostatique ou magnétique…). La manière la plus simple de la représenter est de considérer la traction par un câble. En effet, le vecteur force est nécessairement dans la direction du câble et dans le sens de la traction, son point d'application est le point d'attache du câble à l'objet.

Si par exemple on considère un objet relié à trois câbles et non soumis à son poids (l'expérience se déroule dans une navette spatiale, en état d'impesanteur), la condition d'équilibre est très simple : si ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{2}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{3}}$ sont les forces qu'exercent les câbles sur l'objet, alors :

${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{1}+{\vec {\mathrm {F} }}_{2}+{\vec {\mathrm {F} }}_{3}={\vec {0}}}$

Le poids est une action mécanique qui s'exerce en tout point de l'objet. On peut la résumer en une force unique notée ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}}$ s'appliquant au centre d'inertie G de l'objet ; en fait, on peut représenter l'action du poids par celle d'un câble attaché au « centre » de l'objet et tirant vers le bas.

Dans le modèle de la gravité de Newton, le poids est obtenu en multipliant la masse m de l'objet par l'accélération ${\displaystyle {\vec {g}}}$ de la gravité, c'est-à-dire l'accélération qu'ont tous les objets en chute libre si l'on néglige la résistance de l'air (dans le vide, tous les objets tombent avec la même accélération quelles que soient leur forme et leur masse).

${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}=m\cdot {\vec {g}}}$

Si l'on a un objet immobile suspendu à un fil, alors la somme vectorielle de la traction ${\displaystyle {\vec {\mathrm {T} }}}$ du fil et du poids de l'objet est nulle

${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}+{\vec {\mathrm {T} }}={\vec {0}}}$ soit ${\displaystyle {\vec {\mathrm {T} }}=-{\vec {\mathrm {P} }}}$

Si un objet est posé immobile sur un support, une table, il est soutenu par ce support. Le support exerce donc sur l'objet une force qui compense exactement le poids ; cette force est appelée action du support (ou parfois réaction du support) et est notée ${\displaystyle {\vec {R}}}$. Cette force résulte de la somme de toutes les forces exercées en chaque point de contact entre l'objet et le support, mais elle peut se résumer en une force unique dont le point d'application est exactement sous le barycentre (le « milieu » pondéré) de l'objet. Le point d'application de la réaction n'est donc pas nécessairement sur la surface de contact, par exemple dans le cas des tabourets ou des véhicules à roues.

Dans ce cas simple, on a

${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}+{\vec {\mathrm {R} }}={\vec {0}}}$ soit ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}=-{\vec {\mathrm {R} }}}$

Lorsqu'un objet A exerce une force (appelée « action ») sur un objet B, l'objet B exerce une force opposée (appelée « réaction ») sur l'objet A. Ce principe est également appelé « troisième loi de Newton ».

Ainsi, dans le cas d'un objet suspendu à un câble, le câble exerce une traction sur l'objet, donc l'objet exerce aussi une traction sur le câble (c'est pour cela qu'il est tendu). Dans le cas d'un objet posé sur un support, le support exerce une force sur l'objet (la réaction du support), donc l'objet exerce lui aussi une force sur le support (la pression de l'objet).

On voit qu'un des éléments fondamentaux est de bien définir le système sur lequel on travaille. On considère les forces qu'exercent les éléments extérieurs au système sur le système lui-même. Ainsi, dans le cas de l'objet suspendu au câble, on peut choisir comme système :

• l'objet, soumis à son poids ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}}$ et à la traction du câble ${\displaystyle {\vec {\mathrm {T} }}_{1}}$ ;
• ou bien le câble, soumis à la traction ${\displaystyle {\vec {\mathrm {T} }}_{2}}$ de la part de l'objet et à la réaction ${\displaystyle {\vec {\mathrm {R} }}}$ du support (le plafond auquel il est accroché) ;
• mais encore l'ensemble {câble + objet} soumis au poids ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}}$ de l'objet et la réaction ${\displaystyle {\vec {R}}}$du support.

On considère alors, comme dans les cas précédents, que le poids du câble est nul ou négligeable devant les autres forces.

D'après le principe de l'action et de la réaction, on en déduit que

${\displaystyle {\vec {\mathrm {T} }}_{1}=-{\vec {\mathrm {T} }}_{2}}$

les conditions d'équilibre s'écrivent

${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}+{\vec {\mathrm {T} }}_{1}={\vec {0}}}$ pour l'objet

${\displaystyle {\vec {\mathrm {T} }}_{2}+{\vec {\mathrm {R} }}={\vec {0}}}$ pour le câble

soit finalement

${\displaystyle {\vec {\mathrm {R} }}=-{\vec {\mathrm {P} }}}$

on voit donc que le câble transmet intégralement les efforts, pour le plafond, tout est comme si le solide était attaché sans intermédiaire.

Dans de nombreux problèmes simples, la réaction du support est perpendiculaire à la surface de celui-ci. Ceci n'est en fait vrai que pour un objet immobile sur une surface sans frottement. Ainsi, par exemple, supposons un objet posé sur un plan incliné parfaitement glissant (ou bien une boule pouvant rouler sans frottement) et retenu par un câble, alors la réaction du support est bien perpendiculaire à celui-ci.

Mais le cas est différent dans le cas d'un objet immobile sur un plan incliné, sans câble, retenu uniquement par frottement ; la réaction ${\displaystyle {\vec {\mathrm {R} }}}$ du support compense alors seul le poids. Dans ce cas-là, on peut décomposer la réaction en une composante ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}$ perpendiculaire (normale) au support, et une composante ${\displaystyle {\vec {\mathrm {T} }}}$ parallèle (tangentielle) au support. ${\displaystyle {\vec {\mathrm {T} }}}$ est appelée force d'adhérence ou de frottement statique.

Nous présentons ci-contre un autre cas où la réaction n'est pas perpendiculaire au support.

L'intensité de la force de frottement est déterminée par la loi de Coulomb.

Note

L'étude du levier appartient à la statique du solide : puisque l'on considère la longueur du levier, celui-ci n'est pas réductible à un point matériel. Toutefois, nous nous intéressons principalement à l'effet du levier sur l'objet à soulever, qui peut lui être modélisé par un point matériel. De fait, l'étude du levier permet d'ouvrir la statique du point matériel à de nombreux exemples.

Un levier est une barre rigide pivotant autour d'un point fixe. Le pivot peut être situé à une extrémité, au milieu, ou bien à n'importe quel endroit du levier. Le levier permet de démultiplier la force, par exemple pour soulever un objet lourd avec une force réduite.

Il ne s'agit plus vraiment de mécanique du point puisque l'on étudie la rotation d'un objet, le levier, que l'on ne peut réduire à un point (d'ailleurs, la rotation d'un point n'a pas de sens). C'est l'équilibre de l'objet placé au bout du levier qui nous intéresse, mais ceci nécessite de s'intéresser au levier en lui-même.

Supposons le cas où l'on veut lever un objet^[2]. Le levier est soumis à trois forces :

• l'action ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{1}}$ de l'objet (qui est égale à son poids)
• l'action ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{2}}$ de la personne sur le levier
• l'action ${\displaystyle {\vec {\mathrm {R} }}}$ du pivot sur le levier.

À l'équilibre, la somme des trois forces s'annulent,

${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{1}+{\vec {\mathrm {F} }}_{2}+{\vec {\mathrm {R} }}={\vec {0}}}$

mais cela ne suffit pas à étudier le problème : on ne sait pas quelle est la répartition des forces entre l'action du pivot et l'action de la personne. On introduit pour cela la notion de moment par rapport au pivot.

Le moment d'une force ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}}$ s'exerçant au point A par rapport au pivot P est le nombre algébrique ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{{\vec {\mathrm {F} }}/\mathrm {P} }}$ dont la valeur absolue vaut

${\displaystyle |{\mathcal {M}}_{{\vec {\mathrm {F} }}/\mathrm {P} }|=\|{\vec {F}}\|\cdot d}$

où d est la distance du pivot à la droite portant le vecteur force ; le moment est positif si la force tend à créer une rotation dans le sens positif (sens inverse des aiguilles d'une montre.). La longueur d est appelée bras de levier.

Plus simplement, on peut considérer le moment d'une force par rapport à un point comme son aptitude à faire tourner autour du point considéré le corps sur lequel elle s'exerce. Cette aptitude augmente avec l'intensité de la force (si je pousse plus fort…), et avec la distance observée (si je pousse plus loin…).

On peut à l'aide de cette notion énoncer la loi de l'équilibre en rotation (statique du solide) :

Un objet levier est en équilibre de rotation par rapport à un pivot si la somme des moments des forces par rapport à ce pivot est nulle.

On a donc maintenant une deuxième équation qui va permettre de déterminer ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{1}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{2}}$ :

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{{\vec {\mathrm {F} }}_{1}/\mathrm {P} }+{\mathcal {M}}_{{\vec {\mathrm {F} }}_{2}/\mathrm {P} }+{\mathcal {M}}_{{\vec {\mathrm {R} }}/\mathrm {P} }=0}$

On peut déjà dire que ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{{\vec {\mathrm {R} }}/\mathrm {P} }=\|{\vec {\mathrm {R} }}\|\cdot 0=0}$ (puisque le point d'application de ${\displaystyle {\vec {\mathrm {R} }}}$ est sur le pivot P), on a donc

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{{\vec {\mathrm {F} }}_{1}/\mathrm {P} }+{\mathcal {M}}_{{\vec {\mathrm {F} }}_{2}/\mathrm {P} }=0}$

Si d₁ est le bras de levier de ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{1}}$ et d₂ le bras de levier de ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{2}}$, alors on a

F₁ · d₁ = F₂ · d₂

donc si d₂ > d₁, alors F₁ > F₂. On voit donc que si le bras de levier est plus long du côté de la personne que du côté de l'objet, la personne devra faire un effort réduit pour maintenir l'équilibre (c'est-à-dire concrètement pour soulever l'objet) : la force exercée par le pivot sur le levier participe à soulever l'objet. Dans le cas contraire, l'objet sera plus difficile à soulever qu'à la main directement. L'image ci-contre montre deux manières de soulever une commode en s'aidant d'un levier : en prenant appui sur le sol (figure du haut, le pivot est à l'extrémité du levier), ou bien sur un objet intermédiaire (figure du bas, le pivot est situé sur le levier).

Les balances à masse coulissante (balances romaines) utilisent ce principe pour peser.

Il faut que les moments soient tous calculés par rapport au même pivot. Par exemple, si l'on a deux leviers agissant l'un sur l'autre mais pivotant chacun sur un point différent, on ne peut pas écrire l'égalité des moments au point de contact.

Note

Comme pour le levier, l'étude de la poulie relève de la statique du solide. En effet, cette étude nécessite de considérer la rotation de la poulie (ou plus précisément l'absence de rotation), donc la poulie ne peut se réduire à un point matériel. Cependant, nous nous intéressons principalement à l'effet de la poulie sur l'objet soulevé qui lui peut être réduit à un point matériel.

On peut faire changer cette force de direction à l'aide d'une poulie. La poulie est en soi un objet qui est soumis à des forces ; si elle est à l'équilibre (elle ne bouge pas, ne tourne pas) et que les forces de résistance au mouvement sont négligeables, alors la somme des forces est nécessairement nulle, et la somme de leurs moments est elle aussi nulle.

Dans le cas d'une poulie de renvoi (la poulie est fixée à un objet fixe dans le référentiel, comme un mur ou un plafond), le câble passe dans la gorge de la poulie ; l'équilibre des moments implique que la force qui s'exerce sur chaque brin du câble est la même. La poulie change donc la direction de la force dans le câble (via la réaction du support de la poulie), mais pas son intensité.

Dans le cas d'une poulie renversée, mobile, le câble est fixé à un objet immobile dans le référentiel (par exemple plafond). L'action du support sur le câble s'ajoute à l'action de l'opérateur sur le câble, le poids de la poulie et de sa charge est donc pris en charge en partie par le support. C'est aussi le principe du cabestan. En fait la charge est équitablement répartie sur l'ensemble des fils soutenant la poulie.

Dans le cas d'une poulie à double gorge, on a deux câbles qui passent chacun par une gorge ayant un diamètre différent. On se retrouve dans la même configuration que le levier.

Ferdiand P. Beer, E. Russel Johnston, Jr., David F. Mazurek: Mécanique pour ingénieurs, traduit par Alain Hénault, Volume 1: Statique, 3e édition, chenelière education, (ISBN 978-2-7650-5814-4).

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