Steingrímur Jónsson fait ses études à l'école du diocèse de Skálholt, puis à Reykjavik en 1788. En 1803, il étudie également la théologie à Copenhague. Il est le premier recteur de la Bessastaðaskóli à Bessastaðir, qui existe de 1805 à 1846 et est alors la seule école secondaire du pays. Le , il est nommé évêque d'Islande pour succéder à Geir Vídalín et est ordonné le par Friedrich Münter, évêque de Seeland. Il prend ses fonctions d'évêque en [2].
Steingrímur Jónsson est considéré comme un administrateur pragmatique et un enseignant habile. Il se consacre également à la généalogie et à l'histoire des personnes et laisse derrière lui de nombreux manuscrits généalogiques[3].
Steingrímur Jónsson occupe la fonction d'évêque d'Islande jusqu'à sa mort en 1845.
