Suite de Følner

• Tout groupe fini ${\displaystyle G}$ possède une suite de Følner donnée par ${\displaystyle F_{i}=G}$.
• Considérons le groupe des entiers, agissant sur lui-même par addition. Soit ${\displaystyle F_{i}}$ l'ensemble des entiers compris entre ${\displaystyle -i}$ et ${\displaystyle i}$. Alors ${\displaystyle gF_{i}}$ est l'ensemble des entiers compris entre ${\displaystyle g-i}$ et ${\displaystyle g+i}$ ; la différence symétrique a pour cardinal ${\displaystyle 2g}$, alors que ${\displaystyle F_{i}}$ a pour cardinal ${\displaystyle 2i+1}$, donc ${\displaystyle (F_{i})}$ est une suite de Følner.

Soit ${\displaystyle G}$ un groupe dénombrable possédant une suite de Følner ${\displaystyle F_{i}}$ pour son action sur lui-même. Alors ${\displaystyle G}$ est moyennable.

Pour définir une mesure ${\displaystyle \mu }$ sur ${\displaystyle G}$, la définition naturelle serait

${\displaystyle \mu (A)=\lim _{i\to \infty }{|A\cap F_{i}| \over |F_{i}|}.}$

Cependant, cette limite n'existe pas toujours. Pour contourner cette difficulté, on choisit un ultrafiltre non-trivial ${\displaystyle \omega }$ sur ${\displaystyle \mathbb {N} }$, et on définit l'ultralimite :

${\displaystyle \mu (A)=\lim _{\omega }{|A\cap F_{i}| \over |F_{i}|}.}$

Les propriétés des ultralimites font de ${\displaystyle \mu }$ une mesure de probabilité finiment additive et invariante à gauche.

• Erling Følner, « On groups with full Banach mean value », Mathematica Scandinavica, vol. 3,‎ 1955, p. 243–254 (lire en ligne)

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