Ultralimite

Rappelons qu'un ultrafiltre ω sur l'ensemble ℕ des entiers naturels est une mesure finiment additive^[1] ω : 2^ℕ → {0, 1}, allant de l'ensemble des parties 2^ℕ (c'est-à-dire de l'ensemble de tous les sous-ensembles de ℕ) vers l'ensemble {0, 1}, telle que ω(ℕ) = 1. Un ultrafiltre ω sur ℕ est non trivial si, pour tout sous-ensemble fini F ⊂ ℕ, on a ω(F) = 0.

Soit ω un ultrafiltre non-trivial sur ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Si ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ est une suite de points d'un espace métrique (X,d) et si x ∈ X, on dit que la suite est ω-convergente vers le point x, appelé la ω -limite de x_n, et noté ${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$, si pour tout ${\displaystyle \epsilon >0}$ on a :

${\displaystyle \omega \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}=1.}$

Les propriétés suivantes sont faciles à démontrer :

• si une suite est ω-convergente, sa ω-limite est unique.
• si ${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ au sens usuel, ${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$. (pour que cette propriété soit vraie, il est crucial que l'ultrafiltre soit non-trivial.)

Une caractérisation importante des espaces compacts est que toute suite est ω-convergente (ce résultat est vrai en fait même pour des espaces topologiques quelconques, en généralisant la définition^[2]) ; comme on l'a dit, la ω-limite est d'ailleurs nécessairement unique. En particulier, toute suite bornée de nombres réels admet une ω-limite, puisque tout intervalle fermé de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est compact.

Soit ω un ultrafiltre (non trivial) sur ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Soit (X_n,d_n) une suite d'espaces métriques pointés par des points de base p_n∈X_n.

On dira qu'une suite ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, où x_n∈X_n, est admissible si la suite des nombres réels (d_n(x_n,p_n))_n est bornée, c'est-à-dire s'il existe un réel positif C tel que ${\displaystyle d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C}$. Notons ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ l'ensemble de toutes les suites admissibles. On voit facilement (à l'aide de l'inégalité triangulaire) que pour deux suites admissibles ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ et ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, la suite (d_n(x_n,y_n))_n est bornée et donc qu'elle est ω-convergente vers ${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})}$. Définissons alors sur l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ une relation ${\displaystyle \sim }$ de la manière suivante : pour ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}}$, on a ${\displaystyle \mathbf {x} \sim \mathbf {y} }$ si ${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.}$ Il est facile de voir que ${\displaystyle \sim }$ est une relation d'équivalence sur ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

L'ultralimite de la suite (X_n,d_n, p_n) relativement à ω est un espace métrique ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}$ défini de la manière suivante^[3] :

${\displaystyle X_{\infty }={\mathcal {A}}/\sim }$ (en tant qu'ensemble).

Pour deux classes d'équivalence (relativement à ${\displaystyle \sim }$) ${\displaystyle [\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]}$ contenant les suites admissibles ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ et ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, on pose

${\displaystyle d_{\infty }([\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).}$

Il n'est pas difficile de voir que ${\displaystyle d_{\infty }}$ est bien définie (c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas des représentants ${\displaystyle \mathbf {x} }$ et ${\displaystyle \mathbf {y} }$ choisis), et que c'est une distance sur ${\displaystyle X_{\infty }}$ ; on note ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ l'ultralimite de la suite.

1. Si les (X_n,d_n) sont des espaces métriques géodésiques^[4], alors ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ est aussi géodésique.
2. Si les (X_n,d_n) sont des espaces métriques complets, ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ est également complet^[5].
3. Si (X_n,d_n) est une suite d'espaces compacts qui converge (au sens de Hausdorff) vers un espace (X,d), ce qui implique que les (X_n,d_n) sont de diamètre uniformément borné, alors l'ultralimite ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$ est isométrique à (X,d).
4. Si les (X_n,d_n)sont des espaces métriques propres^[6], et si ${\displaystyle p_{n}\in X_{n}}$ sont des points de base tels que la suite (X_n,d_n,p_n) converge (au sens de Hausdorff) vers un espace métrique propre (X,d), alors l'ultralimite ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ est isométrique à (X,d)^[7].
5. Soient κ ≤ 0 et (X_n, d_n) une suite de CAT(κ)-espaces. Alors l'ultralimite ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ est aussi un CAT(κ)-espace^[7].
6. Soit (X_n,d_n) une suite de CAT(κ_n)-espaces, où ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\kappa _{n}=-\infty .}$ Alors l'ultralimite ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ est un arbre réel^[7].

Les cônes asymptotiques d'espaces métriques forment une importante classe d'ultralimites. Soit (X,d) un espace métrique, ω un ultrafiltre (non trivial) sur ${\displaystyle \mathbb {N} }$, et p_n ∈ X une suite de points de base. Alors l'ultralimite (relativement à ω) de la suite ${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$ s'appelle le cône asymptotique de X et se note ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$. On choisit souvent la suite des points de base constante : p_n=p pour un p fixé de X ; dans ce cas le cône asymptotique ne dépend pas de p et est noté ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$ ou simplement ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$.

Cette construction joue un rôle important dans la théorie géométrique des groupes, car les cônes asymptotiques (ou plus précisément leurs types topologiques et leurs types lipschitziens) fournissent des invariants quasi-isométriques^[8] des espaces métriques en général et des groupes à nombre fini de générateurs en particulier^[9]. Les cônes asymptotiques se sont également révélés utiles dans l'étude des groupes relativement hyperboliques (en) et de leurs généralisations^[10].

1. Soit (X,d) un espace métrique compact ; posons (X_n,d_n)=(X,d) pour chaque ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Alors l'ultralimite ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$ est isométrique à (X,d).
2. Soient (X,d_X) et (Y,d_Y) deux espaces métriques compacts distincts et soit (X_n,d_n)une suite telle que pour tout n on ait (X_n,d_n)=(X,d_X) ou (X_n,d_n)=(Y,d_Y). Soit ${\displaystyle A_{1}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,}$ et ${\displaystyle A_{2}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,}$. Alors A₁, A₂ sont disjoints et ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}=\mathbb {N} .}$ Par conséquent, l'un des A₁, A₂ est de ω-mesure 1 et l'autre a pour ω-mesure 0. Donc ${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$ est isométrique à (X,d_X) si ω(A₁)=1 et est isométrique à (Y,d_Y) si ω(A₂)=1. Cela montre que l'ultralimite peut dépendre du choix de l'ultrafiltre ω.
3. Soit (M,g) une variété riemannienne compacte connexe de dimension m, où g est une métrique riemannienne sur M. Soit d la métrique sur M correspondant à g ; (M,d) est alors un espace métrique géodésique^[4]. Choisissons un point de base p∈M. Alors l'ultralimite (et même la limite ordinaire au sens de Hausdorff) ${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$ est isométrique à l'espace tangent T_pM de M à p, la distance sur T_pM étant donnée par le produit scalaire g(p). Ainsi, l'ultralimite ${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$ est isométrique à l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ muni de la distance usuelle^[11].
4. Soit ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$ l'espace euclidien usuel à m dimensions. Alors le cône asymptotique ${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {R} ^{m},d)}$ est isométrique à ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$.
5. Soit ${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{2},d)}$ le réseau entier de dimension 2 avec la distance entre deux points du réseau donnée par la longueur du plus court chemin les reliant. Alors le cône asymptotique ${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {Z} ^{2},d)}$ est isométrique à ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$, où ${\displaystyle d_{1}\,}$ est la distance de Manhattan sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, connue aussi sous le nom de norme 1 : ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|_{1}}$.
6. Soit (X,d) un espace métrique géodésique δ-hyperbolique (en), avec δ ≥ 0. Alors le cône asymptotique ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$ est un arbre réel^[7],[12].
7. Soit (X,d) un espace métrique de diamètre fini. Alors ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$ est réduit à un point.
8. Soit (X,d) un espace CAT(0) métrique. Alors ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$ est aussi un espace CAT(0)^[7].