Suite de Jacobsthal

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En mathématiques, la suite de Jacobsthal est une suite d'entiers portant le nom du mathématicien allemand Ernst Jacobsthal (1882-1965). Comme la suite de Fibonacci, elle modélise l'accroissement d'une population de lapins.

Sachant qu'un couple de lapins donne naissance à deux nouveaux couples chaque mois et que chaque couple commence à engendrer à partir du deuxième mois suivant sa naissance, on demande le nombre total de couples au n-ième mois.

La suite commence par 0 et 1, puis chaque terme est obtenu en ajoutant le nombre précédent à deux fois le nombre anté-précédent. Les premiers termes en sont donc :

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525,… cf. la suite A001045 de l'OEIS.

C'est aussi une suite de Lucas $U_{n}(P,Q)$ , obtenue pour $P=1,Q=-2$ .

C'est aussi le nombre de façon de paver un rectangle 2 × (n – 1) par des carrés 1×1 (monominos) et des rectangles 2×1 (dominos), ou encore le nombre de façon de paver un rectangle 2 × (n – 1) par des carrés 1 × 1 et des carrés 2 × 2.

D'après Donald Knuth, Ernst Jacobsthal n'a probablement jamais vu les valeurs de cette suite. C'est le mathématicien australien Alwyn Francis Horadam qui a utilisé l'appellation « suite de Jacobsthal », car « une suite aussi importante a besoin d'un nom, et il existe une loi qui dit que le nom de quelque chose ne devrait jamais être celui de son découvreur » (loi de Stigler)^[1].

Définition et formules

La suite de Jacobsthal est donc définie par récurrence double par :

J_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{si }}n=0\\1&{\mbox{si }}n=1\\J_{n-1}+2J_{n-2}&{\mbox{si }}n\geqslant 2\\\end{cases}}

L'application de la formule de Binet pour les suites récurrentes linéaires donne :

J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.

on en déduit les formules de récurrence simples :

J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n}=2^{n}-J_{n}

d'où :

J_{n+1}=2^{n}\sum _{k=0}^{n}{(-1)^{k} \over {2^{k}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{(-1)^{k}{2^{k}}}

La fonction génératrice est

\sum _{n=0}^{\infty }J_{n}x^{n}={\frac {x}{(1+x)(1-2x)}}.

La somme des inverses des nombres de Jacobsthal non nuls est environ égale à 2,7186, résultat légèrement supérieur à e.

En prolongeant la suite aux indices négatifs de sorte à avoir $J_{n}=J_{n-1}+2J_{n-2}$ , pour tout entier relatif $n$ , on a :

J_{-n}=(-1)^{n+1}J_{n}/2^{n}

(suite A077925 de l'OEIS)

et

2^{n}(J_{-n}+J_{n})=3J_{n}^{2}

(et la suite

(J_{n}^{2})_{n\geq 0}

est la suite A139818 de l'OEIS.

Suite de Jacobsthal-Lucas

La suite de Jacobsthal-Lucas est la suite de Lucas $j_{n}=V_{n}(1,-2)$ associée à $J_{n}=U_{n}(1,-2)$ . Seules les valeurs initiales diffèrent :

j_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{si }}n=0\;;\\1&{\mbox{si }}n=1\;;\\j_{n-1}+2j_{n-2}&{\mbox{si }}n\geqslant 2.\end{cases}}

Récurrence simple : pour tout entier $n$ ,

j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.\,

Formule générale : pour tout entier $n$ ,

j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.\,

Les premières valeurs sont :

2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16385, 32767, 65537, 131071, 262145, 524287, 1048577,… suite A014551 de l'OEIS.

Nombres oblongs de Jacobsthal

Les nombres oblongs de Jacobsthal sont les produits de deux termes consécutifs de la suite de Jacobstahl : $\operatorname {Jo} _{n}=J_{n}J_{n+1}$ .

Les premières valeurs sont 0, 1, 3, 15, 55, 231,… ; elles forment la suite A084175 de l'OEIS.

Notes et références

Liens externes

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