Suite de Jacobsthal

suite d'entiers portant le nom du mathématicien allemand Ernst Jacobsthal From Wikipedia, the free encyclopedia

En mathématiques, la suite de Jacobsthal est une suite d'entiers portant le nom du mathématicien allemand Ernst Jacobsthal (1882-1965). Comme la suite de Fibonacci, elle modélise l'accroissement d'une population de lapins.

Sachant qu'un couple de lapins donne naissance à deux nouveaux couples chaque mois et que chaque couple commence à engendrer à partir du deuxième mois suivant sa naissance, on demande le nombre total de couples au n-ième mois.

La suite commence par 0 et 1, puis chaque terme est obtenu en ajoutant le nombre précédent à deux fois le nombre anté-précédent. Les premiers termes en sont donc :

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525,… cf. la suite A001045 de l'OEIS.

C'est aussi une suite de Lucas $U_{n}(P,Q)$ , obtenue pour $P=1,Q=-2$ .

C'est aussi le nombre de façon de paver un rectangle 2 × (n – 1) par des carrés 1×1 (monominos) et des rectangles 2×1 (dominos), ou encore le nombre de façon de paver un rectangle 2 × (n – 1) par des carrés 1 × 1 et des carrés 2 × 2.

Historique

D'après Donald Knuth, Ernst Jacobsthal n'a probablement jamais vu les valeurs de cette suite. C'est le mathématicien australien Alwyn Francis Horadam qui a utilisé l'appellation « suite de Jacobsthal », car « une suite aussi importante a besoin d'un nom, et il existe une loi qui dit que le nom de quelque chose ne devrait jamais être celui de son découvreur » (loi de Stigler)^[1].

Définition et formules

La suite de Jacobsthal est donc définie par récurrence double par :

J_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{si }}n=0\\1&{\mbox{si }}n=1\\J_{n-1}+2J_{n-2}&{\mbox{si }}n\geqslant 2\\\end{cases}}

L'application de la formule de Binet pour les suites récurrentes linéaires donne :

J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.

on en déduit les formules de récurrence simples :

J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n}=2^{n}-J_{n}

d'où :

J_{n+1}=2^{n}\sum _{k=0}^{n}{(-1)^{k} \over {2^{k}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{(-1)^{k}{2^{k}}}

La fonction génératrice est

\sum _{n=0}^{\infty }J_{n}x^{n}={\frac {x}{(1+x)(1-2x)}}.

La somme des inverses des nombres de Jacobsthal non nuls est environ égale à 2,7186, résultat légèrement supérieur à e.

En prolongeant la suite aux indices négatifs de sorte à avoir $J_{n}=J_{n-1}+2J_{n-2}$ , pour tout entier relatif $n$ , on a :

J_{-n}=(-1)^{n+1}J_{n}/2^{n}

(suite A077925 de l'OEIS)

et

2^{n}(J_{-n}+J_{n})=3J_{n}^{2}

(et la suite

(J_{n}^{2})_{n\geq 0}

est la suite A139818 de l'OEIS.

Suite de Jacobsthal-Lucas

La suite de Jacobsthal-Lucas est la suite de Lucas $j_{n}=V_{n}(1,-2)$ associée à $J_{n}=U_{n}(1,-2)$ . Seules les valeurs initiales diffèrent :

j_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{si }}n=0\;;\\1&{\mbox{si }}n=1\;;\\j_{n-1}+2j_{n-2}&{\mbox{si }}n\geqslant 2.\end{cases}}

Récurrence simple : pour tout entier $n$ ,

j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.\,

Formule générale : pour tout entier $n$ ,

j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.\,

Les premières valeurs sont :

2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16385, 32767, 65537, 131071, 262145, 524287, 1048577,… suite A014551 de l'OEIS.

Nombres oblongs de Jacobsthal

Les nombres oblongs de Jacobsthal sont les produits de deux termes consécutifs de la suite de Jacobstahl : $\operatorname {Jo} _{n}=J_{n}J_{n+1}$ .

Les premières valeurs sont 0, 1, 3, 15, 55, 231,… ; elles forment la suite A084175 de l'OEIS.

Notes et références

Liens externes

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