Suite de composition

Soient G un groupe et e son élément neutre. On appelle suite de composition^[1] de G toute suite finie (G₀, G₁, …, G_r) de sous-groupes de G telle que

${\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}}$

et que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, G_i+1 soit sous-groupe normal de G_i.
Les quotients G_i/G_i+1 sont appelés les quotients de la suite^[2].

• Soient Σ₁ = (G₀, G₁, …, G_r) et Σ₂ = (H₀, H₁, …, H_s) deux suites de composition de G. On dit que
  • Σ₂ est un raffinement^[3] de Σ₁, ou encore que Σ₂ est plus fine^[4] que Σ₁, si Σ₁ est extraite de Σ₂, c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j(0) < j(1) … < j(r) = s tels que G_i = H_j(i) pour tout i ∈ {1, …, r – 1}.
  • Σ₁ et Σ₂ sont équivalentes^[4],[5] si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, …, r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le quotient G_i/G_i+1 soit isomorphe au quotient H_σ(i)/H_σ(i)+1.
• Soit Σ = (G₀, G₁, …, G_r) une suite de composition de G. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :
  a) Σ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même ;
  b) les quotients de Σ sont tous des groupes simples ;
  c) pour tout i ∈ [0, r – 1], G_i+1 est un sous-groupe distingué maximal^[6] de G_i (c'est-à-dire un élément maximal, relativement à l'inclusion, de l'ensemble des sous-groupes propres distingués de G_i).
  On appelle suite de Jordan-Hölder^[7] une suite de composition possédant les propriétés équivalentes a) à c).

Remarque : les auteurs de langue anglaise^[8] appellent « composition series » ce qui est appelé ici suite de Jordan-Hölder.

• Pour tout groupe G, la suite (G, {e}) est une suite de composition. C'est une suite de Jordan-Hölder si et seulement si G est simple.
• S₃ ⊃ A₃ ⊃ {e} est une suite de Jordan-Hölder.
• Théorème de raffinement de Schreier : pour deux suites de composition d'un même groupe, il existe toujours un raffinement de la première et un raffinement de la seconde qui sont équivalents.
• On en déduit^[9] que si un groupe admet une suite de Jordan-Hölder, toute suite de composition strictement décroissante de ce groupe admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder.
• Si un groupe résoluble G admet une suite de Jordan-Hölder, chaque groupe quotient de cette suite est à la fois simple et résoluble, donc est cyclique d'ordre premier, et G est donc fini. En particulier, un groupe abélien infini n'admet pas de suite de Jordan-Hölder.
• Tout groupe fini admet une suite de Jordan-Hölder^[10].
• Théorème de Jordan-Hölder : deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe sont toujours équivalentes.