Superadditivité

En mathématiques, une suite est dite superadditive si, pour tout m et n, elle satisfait l'inégalité

${\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}}$

Le principal avantage des suites superadditives est qu'elles obéissent au lemme de Michael Fekete^[1].

De même, une fonction f est dite superadditive si l'on a

${\displaystyle f(x+y)\geq f(x)+f(y)}$

pour tout x et y dans le domaine de f.

Par exemple, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ est une fonction superadditive pour les nombres réels positifs : le carré de (x + y) est toujours supérieur ou égal au carré de x plus le carré de y.

Un lemme analogue à celui de Fekete existe pour les fonctions. Il y a aussi des extensions de ce dernier dans des cas moins forts, par exemple si la propriété de super-additivité n'est pas vérifiée sur tout le domaine de la fonction. D'autres résultats permettent de déduire la vitesse de convergence de cette limite si l'on a à la fois des formes de super- et de sous-additivité. Une bonne présentation de ce sujet peut être trouvée dans Steele (1997)^[2],[3].

Si f est une fonction super additive, et si 0 est dans son domaine, alors f(0) ≤ 0. On a en effet

${\displaystyle \forall x,\ f(x)=f(x+0)\geq f(0)+f(x).}$

L'inverse de la super-additivité d'une fonction est la sous-additivité.