Surface de Peano - Wikiwand

En mathématiques, la surface de Peano est une surface quartique, le graphe de la fonction de deux variables

f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2}).

Elle a été proposée par Giuseppe Peano en 1899 comme contre-exemple à un critère conjecturé pour l'existence de maxima et de minima de fonctions de deux variables^[1]^,^[2].

La surface a été nommée surface de Peano (en allemand : Peanosche Fläche) par Georg Scheffers dans son livre de 1920 intitulé Lehrbuch der darstellenden Geometrie^[1]^,^[3]. Elle a également été appelée le col ou selle de Peano^[4]^,^[5].

La fonction représentée graphiquement par cette surface est positive entre les deux paraboles $y=x^{2}$ et $y=2x^{2}$ et négative ailleurs. À l'origine, au point tridimensionnel $(0,0,0)$ de la surface qui correspond au point d'intersection des deux paraboles, la surface a un point selle^[6]. La surface elle-même a une courbure de Gauss positive dans certaines parties et une courbure négative dans d'autres, séparées par une autre parabole^[4]^,^[5], ce qui implique que son application de Gauss a une cuspide de Whitney.

Chaque fois que la surface est intersectée par un plan vertical passant par l'origine, la courbe résultante dans le plan d'intersection a un maximum local en ce point^[1]. En termes plus paradoxaux, si on déplace un point de l'origine $(0,0)$ sur une ligne droite quelconque, la fonction $(2x^{2}-y)(y-x^{2})$ diminue au début du déplacement ; néanmoins, le point $(0,0)$ n'est pas un maximum local de la fonction, car se déplacer le long d'une parabole comme $y={\sqrt {2}}\,x^{2}$ entraîne une croissance de cette fonction.

La courbe comme contre-exemple

En 1886, Joseph-Alfred Serret publie un manuel^[7] contenant une proposition de critère pour les points extrémaux d'une surface donnée par $z=f(x_{0}+h,y_{0}+k)$ :

« Le maximum ou le minimum a lieu lorsque, pour les valeurs de

h

et

k

qui annulent

d^{2}f

et

d^{3}f

(les troisième et quatrième termes),

d^{4}f

(le cinquième terme) a constamment le signe -, ou le signe +. »

Ici, on suppose que les termes linéaires s'annulent et que la série de Taylor de $f$ a la forme

z=f(x_{0},y_{0})+Q(h,k)+C(h,k)+F(h,k)+\cdots

,

où $Q(h,k)$ est une forme quadratique comme $ah^{2}+bhk+ck^{2}$ , $C(h,k)$ est une forme cubique avec des termes cubiques en $h$ et $k$ , et $F(h,k)$ est une forme quartique avec un polynôme quartique homogène en $h$ et $k$ . Serret suggère que si $F(h,k)$ a un signe constant pour tous les points où $Q(h,k)=C(h,k)=0$ , alors la surface a un maximum ou un minimum local en $(x_{0},y_{0})$ . Dans ses notes de 1884 au manuel italien d'Angelo Genocchi sur le calcul infinitésimal : Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, Peano avait déjà fourni différentes conditions correctes pour qu'une fonction ait un minimum local ou un maximum local^[1]^,^[8]. Dans la traduction allemande de 1899 du même manuel, il a fourni cette surface comme contre-exemple à la condition de Serret. Au point $(0,0,0)$ , les conditions de Serret sont satisfaites, mais ce point est un point col et pas un maximum local^[2]. Une condition proche de celle de Serret a également été critiquée par Ludwig Scheeffer (de), qui a utilisé la surface de Peano comme contre-exemple dans une publication de 1890, attribuée à Peano^[6]^,^[9].

Maquettes de la surface

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Peano surface » (voir la liste des auteurs).

1 2 3 4 Emch, « A model for the Peano Surface », American Mathematical Monthly, vol. 29, n^o 10,‎ 1922, p. 388–391 (DOI 10.1080/00029890.1922.11986180, JSTOR 2299024, MR 1520111, lire en ligne).
1 2 Angelo Genocchi, Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung, B.G. Teubner, 1899 (lire en ligne), p. 332.
↑ Georg Scheffers, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, vol. II, 1920, « 427 : Die Peanosche Fläche », p. 261–263.
1 2 S. N. Krivoshapko et V. N. Ivanov, Encyclopedia of Analytical Surfaces, Springer, 2015 (DOI 10.1007/978-3-319-11773-7_33), « Saddle Surfaces », p. 561–565 — En particulier section Peano Saddle, p. 562–563.
1 2 (en) George K. Francis, A Topological Picturebook, New York/Berlin/Paris etc., Springer-Verlag, New York, 1987, 194 p. (ISBN 0-387-96426-6, MR 880519), p. 88.
1 2 3 Gerd Fischer (éditeur), Mathematical Models : From the Collections of Universities and Museums – Photograph Volume and Commentary, 2017, 2^e éd. (DOI 10.1007/978-3-658-18865-8) — En particulier la préface (p. xiii) à l'histoire du modèle de Göttingen, Photo 122 "Penosche Fläsche" (p. 119).
↑ J. A. Serret, Cours de calcul différentiel et intégral, vol. 1, Paris, 3d, 1886 (lire en ligne), p. 216
↑ Angelo Genocchi, Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, 1884, « Massimi e minimi delle funzioni di più variabili », p. 195–203.
↑ (de) Scheeffer, « Theorie der Maxima und Minima einer Function von zwei Variabeln », Mathematische Annalen, vol. 35, n^o 4,‎ décembre 1890, p. 541–576 (DOI 10.1007/bf02122660, lire en ligne) En particulier p. 545–546.
↑ « Peano Surface », Göttingen Collection of Mathematical Models and Instruments, Université de Göttingen (consulté le 13 juillet 2020).
↑ modèle 39, "Peanosche Fläche, geschichtet" et modèle 40, "Peanosche Fläche", Mathematische Modelle, TU Dresden, retrieved 2020-07-13

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