Système quater-imaginaire From Wikipedia, the free encyclopedia Le système de numération quater-imaginaire fut proposé en premier par Donald Knuth en 1955, lors d'une soumission à une recherche de talent scientifique au lycée. C'est un système positionnel non standard (en) car à base complexe (en), qui utilise comme base le nombre imaginaire pur 2i. Il peut représenter chaque nombre complexe en utilisant seulement les chiffres 0, 1, 2 et 3 (les réels négatifs, dont la représentation dans un système standard utilise le signe moins, sont représentables en quater-imaginaire par une simple suite de chiffres). n −8−7−6−5−4−3−2−1012345678 (2i)n 1/256i/128−1/64−i/321/16i/8−1/4−i/212i−4−8i1632i−64−128i256 Du système décimal vers le système quater-imaginaire Base 10Base 2i 11 22 33 410300 510301 610302 710303 810200 910201 1010202 1110203 1210100 1310101 1410102 1510103 1610000 Base 10Base 2i –1103 −2102 −3101 −4100 −5203 −6202 −7201 −8200 −9303 −10302 −11301 −12300 −131030003 −141030002 −151030001 −161030000 Base 10Base 2i i10,2 2i10 3i20,2 4i20 5i30,2 6i30 7i103000,2 8i103000 9i103010,2 10i103010 11i103020,2 12i103020 13i103030,2 14i103030 15i102000,2 16i102000 Base 10Base 2i −i0,2 −2i1030 −3i1030,2 −4i1020 −5i1020,2 −6i1010 −7i1010,2 −8i1000 −9i1000,2 −10i2030 −11i2030,2 −12i2020 −13i2020,2 −14i2010 −15i2010,2 −16i2000 Exemples Deux exemples d'entiers : − 31 10 = d 0 + d 2 ( 2 i ) 2 + d 4 ( 2 i ) 4 + d 6 ( 2 i ) 6 + ⋯ = d 0 − 4 d 2 + 16 d 4 − 64 d 6 + ⋯ ⇔ {\displaystyle -31_{10}=d_{0}+d_{2}(2{\rm {i}})^{2}+d_{4}(2{\rm {i}})^{4}+d_{6}(2{\rm {i}})^{6}+\dots =d_{0}-4d_{2}+16d_{4}-64d_{6}+\dots \Leftrightarrow } d 0 = 1 , 8 10 = d 2 − 4 d 4 + 16 d 6 − ⋯ ⇔ {\displaystyle d_{0}=1,\quad 8_{10}=d_{2}-4d_{4}+16d_{6}-\dots \Leftrightarrow } d 0 = 1 , d 2 = 0 , − 2 10 = d 4 − 4 d 6 + ⋯ ⇔ {\displaystyle d_{0}=1,\quad d_{2}=0,\quad -2_{10}=d_{4}-4d_{6}+\dots \Leftrightarrow } d 0 = 1 , d 2 = 0 , d 4 = 2 , d 6 = 1 , d 8 = ⋯ = 0 {\displaystyle d_{0}=1,\quad d_{2}=0,\quad d_{4}=2,\quad d_{6}=1,\quad d_{8}=\dots =0} donc − 31 10 = 1020001 2 i . {\displaystyle -31_{10}=1020001_{2{\rm {i}}}.} De même, 15 10 = 10103 2 i . {\displaystyle 15_{10}=10103_{2{\rm {i}}}.} La conversion d'un nombre dyadique se ramène à celle d'un entier : 31 4 = − 31 ( 2 i ) − 2 = 10200 , 01 2 i . {\displaystyle {\frac {31}{4}}=-31(2{\rm {i}})^{-2}=10200{,}01_{2{\rm {i}}}.} La conversion du produit par i d'un nombre dyadique aussi : − 15 i 2 = 15 ( 2 i ) − 1 = 1010 , 3 2 i . {\displaystyle -{\frac {15{\rm {i}}}{2}}=15(2{\rm {i}})^{-1}=1010{,}3_{2{\rm {i}}}.} La partie réelle et la partie imaginaire s'additionnent : 31 4 − 15 2 i = 10200 , 01 2 i + 1010 , 3 2 i = 11210 , 31 2 i . {\displaystyle {\frac {31}{4}}-{\frac {15}{2}}{\rm {i}}=10200{,}01_{2{\rm {i}}}+1010{,}3_{2{\rm {i}}}=11210{,}31_{2{\rm {i}}}.} Notes et références (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quater-imaginary base » (voir la liste des auteurs). Voir aussi Liens externes (en) D. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 2, 3e éd., Addison-Wesley, p. 205, « Positional Number Systems » v · mBase de numération positionnelle 1 à 9 unaire (1), binaire (2), ternaire (3), quaternaire (4), quinaire (5), sénaire (6), septénaire (7), octal (8), nonaire (9) 10 à 60 décimal (10), undécimal (11), duodécimal (12), tridécimal (13), quindécimal (15), hexadécimal (16), octodécimal (18), vicésimal (20), base 36, sexagésimal (60) Autre base base d'or (φ), mixte, négabinaire (–2), négaternaire (-3), bases complexes (en) : quater-imaginaire (2i) Notions base chiffre nombre notation positionnelle numération système bibi-binaire Arithmétique et théorie des nombres Related Articles
