Taux de distorsion harmonique pondéré

La tension fournie étant périodique, on peut la décomposer en somme de fonction périodiques, aussi appelée décomposition en séries de Fourier. Le courant étant lui aussi périodique on peut lui aussi le décomposer de la même manière. Dans la suite, on suppose l'ensemble des harmoniques de tension connus. On note:

   ${\displaystyle \mathbf {V} (t)-E=\mathbf {a} _{0,V}+\sum _{n\geq 1}\mathbf {a} _{n,V}\cos(n\omega t)+\mathbf {b} _{n,V}\sin(n\omega t)}$
   ${\displaystyle \mathbf {I} (t)=\mathbf {a} _{0,I}+\sum _{n\geq 1}\mathbf {a} _{n,I}\cos(n\omega t)+\mathbf {b} _{n,I}\sin(n\omega t)}$

Avec: ${\displaystyle \omega }$ la pulsation électrique. ${\displaystyle \mathbf {a} _{0,V}}$, ${\displaystyle \mathbf {a} _{n,V}}$ et ${\displaystyle \mathbf {b} _{n,V}}$ les coefficients de Fourier réels pour la tension et ${\displaystyle \mathbf {a} _{0,I}}$, ${\displaystyle \mathbf {a} _{n,I}}$ et ${\displaystyle \mathbf {b} _{n,I}}$ les coefficients de Fourier réels pour le courant.

Or en considérant une charge RLE on a:

    ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {I} (t)}{dt}}={\frac {\mathbf {V} (t)-E}{L}}-{\frac {R}{L}}\mathbf {I} (t)}$

On a donc besoin de la dérivée du courant qui sera alors égale à:

    ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {I} (t)}{dt}}=\sum _{n\geq 1}n\omega \mathbf {b} _{n,I}\cos(n\omega t)-n\omega \mathbf {a} _{n,I}\sin(n\omega t)}$

Ainsi par identification on peut écrire:

    ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}0={\frac {1}{L}}\mathbf {a} _{0,V}-{\frac {R}{L}}\mathbf {a} _{0,I}\\n\omega \mathbf {b} _{n,I}={\frac {1}{L}}\mathbf {a} _{n,V}-{\frac {R}{L}}\mathbf {a} _{n,I}\\n\omega \mathbf {a} _{n,I}={\frac {R}{L}}\mathbf {b} _{n,I}-{\frac {1}{L}}\mathbf {b} _{n,V}\\\end{array}}\right.}$

Les harmoniques de courant peuvent être décrits de cette manière:

    ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\mathbf {a} _{0,I}={\frac {1}{R}}\mathbf {a} _{0,V}\\\mathbf {a} _{n,I}={\frac {1}{R^{2}+\left(nL\omega \right)^{2}}}\left(R\mathbf {a} _{n,V}-nL\omega \mathbf {b} _{n,V}\right)\\\mathbf {b} _{n,I}={\frac {1}{R^{2}+\left(nL\omega \right)^{2}}}\left(nL\omega \mathbf {a} _{n,V}+R\mathbf {b} _{n,V}\right)\\\end{array}}\right.}$

${\displaystyle n}$ étant un nombre entier plus grand que 1 et ${\displaystyle \omega =2\pi f_{1}}$, avec ${\displaystyle f_{1}}$ qui a un ordre de grandeur au moins égal à 10 dans les applications du génie électrique. De cette manière ${\displaystyle nL\omega \gg R}$. Ainsi les harmoniques du courants peuvent être réécrits de cette manière:

   ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\mathbf {a} _{0,I}={\frac {1}{R}}\mathbf {a} _{0,V}\\\mathbf {a} _{n,I}\approx -{\frac {\mathbf {b} _{n,V}}{nL\omega }}\\\mathbf {b} _{n,I}\approx {\frac {\mathbf {a} _{n,V}}{nL\omega }}\\\end{array}}\right.}$

On peut ainsi calculer l'amplitude des harmoniques de courants (notez que ${\displaystyle \mathbf {a} _{0,V}}$ n'apparait pas car dans un cas d'une charge RLE équilibrée cette tension est nulle):

    ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,I}={\sqrt {\mathbf {a} _{n,I}^{2}+\mathbf {b} _{n,I}^{2}}}\ \ \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \{1\}}$
    ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,I}={\frac {1}{L\omega }}{\sqrt {\frac {\mathbf {a} _{n,V}^{2}+\mathbf {b} _{n,V}^{2}}{n^{2}}}}\ \ \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \{1\}}$

Finalement, en souhaitant un outil indépendant du modèle du système considéré:

     ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,I}\propto {\sqrt {\frac {\mathbf {V} _{n}^{2}}{n^{2}}}}\ \ \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \{1\}}$

En prenant enfin la norme 2 de toutes les amplitudes de courant et en la comparant à la tension fondamentale pour en déduire un pourcentage on obtient:

${\displaystyle {\text{WTHD}}=100\times {\frac {1}{\mathbf {V} _{1}}}{\sqrt {\sum _{n=2}^{\infty }{\mathcal {P}}_{n,I}^{2}}}=100\times {\frac {1}{\mathbf {V} _{1}}}{\sqrt {\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mathbf {V} _{n}^{2}}{n^{2}}}}}}$