Il a suivi les cours de Robert West des Dublin Society Drawing Schools. Il a étudié la manière noire, ou mezzo-tinto, avec John Dixon, soit quand ce dernier était à Dubin, soit à Londres. Il vient à Londres en 1770. Il y a utilisé la manière noire entre 1771 et 1775.
La plupart des gravures en mezzo-tinto ont été faites d'après les tableaux d'Angelica Kauffmann.
William Wynne Ryland lui a montré la méthode de gravure au pointillé. Il a utilisé cette méthode pour réaliser des gravures d'après les tableaux d'Angelica Kauffmann qui appréciait leurs qualités. Il a réalisé un grand nombre de gravures d'après ses peintures.
Burke a préféré travailler pour des éditeurs et a rarement graver des œuvres personnelles.
En 1789, il a gravé un dessin de Louis Marie Sicard, Oh, che boccone! (Oh, le beau morceau!)[1].
Michael Huber, Manuel des curieux et des amateurs de l'art: contenant une notice abrégée des principaux graveurs, tome 9, École anglaise, p.293-294, Chez Orell, Fussli & Compagnie, Zurich, 1808 (lire en ligne).
