En 1765, alors qu’il étudie le droit, il est élu membre du All Souls College d’Oxford et, en 1770, admis au barreau. Il obtient également des diplômes de droit civil à Oxford, devenant BCL en 1771 et DCL en 1780. Wenman se présente sans succès à Wallingford en 1774, mais est élu pour Westbury et siège à la Chambre des Communes jusqu'en 1780.
Il est élu membre de la Royal Society le [1]. Peut-être en raison de son intérêt pour les antiquités, il est élu conservateur des archives de l'Université d'Oxford le et est nommé administrateur délégué de l'université en décembre.
En 1789, il est nommé professeur de droit civil Regius à la suite de Robert Vansittart (juge), mais son intérêt réel réside dans l'histoire naturelle et la botanique. Alors qu'il collecte des spécimens, il tombe dans la rivière Cherwell, près de Water Eaton, et se noie le . Il est inhumé dans la chapelle de All Souls le .
