L'ensemble A est appelé une base (resp. base asymptotique) d'ordre h si tout entier naturel (resp. tout entier suffisamment grand) est somme de h éléments de A. Beaucoup de recherches actuelles concernent cette notion. Par exemple, il a été démontré que pour tout h, parmi les bases asymptotiques d'ordre h, il en existe qui sont minimales (pour l'inclusion), mais il en existe aussi qui ne contiennent aucune minimale. Une autre question, soulevée dans la conjecture d'Erdős-Turán sur les bases additives, est l'étude du comportement asymptotique de la fonction qui à tout entier associe le nombre de ses décompositions comme somme de h éléments de A.
La combinatoire additive est un nom récent pour la branche de la théorie additive des nombres qui concerne les problèmes inverses, souvent sur des groupes plus généraux que celui des entiers. Il s'agit, à partir d'informations sur la somme d'ensembles A + B, de déduire des propriétés sur la structure des deux ensembles A et B. Contrairement aux problèmes liés aux bases classiques évoqués ci-dessus, ce domaine traite plutôt d'ensembles finis qu'infinis. Une question typique est: quelle doit être la structure de A et B pour que le cardinal de A + B soit «petit» (relativement à ceux de A et B)? Dans le cas des entiers, le théorème de Freiman fournit une réponse, partielle mais puissante, en termes de progressions arithmétiques généralisées. Un autre problème typique est de trouver simplement un minorant du cardinal de A + B en fonction de ceux de A et B (de tels problèmes sont souvent considérés comme directs, mais on peut aussi les voir comme des problèmes inverses: par exemple, quelle «petitesse» de A + B est suffisante pour que A ou B soit vide?). Des exemples de ce type incluent la conjecture d'Erdős-Heilbronn (pour une somme restreinte d'ensembles) et le théorème de Cauchy-Davenport. Les méthodes utilisées pour aborder de telles questions puisent non seulement dans la combinatoire, la théorie des groupes, l'algèbre linéaire et les méthodes polynomiales, mais s'étendent à tout le spectre des mathématiques, y compris la théorie ergodique, l'analyse et la théorie des graphes.
(en) Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, Springer, coll.«GTM» (no165), , 296p. (ISBN978-0-387-94655-9, lire en ligne)
