Théorème de Freiman

Pour toute constante c > 0, il existe un entier naturel n et une constante c' tels que^[5] :

pour tout ensemble fini A d'entiers tel que card(A + A) ≤ c card(A), il existe des entiers a, q₁, … , q_n, l₁, … , l_n tels que

${\displaystyle A\subset Q=\{a+x_{1}q_{1}+\ldots +x_{n}q_{n}~|~\forall i=1,\ldots ,n,~0\leq x_{i}<l_{i}\}\quad {\text{et}}\quad {\text{card}}(Q)\leq c'{\text{card}}(A).}$

Un cas simple instructif est le suivant^[6] : on a toujours card(A + A) ≥ 2 card(A) – 1, avec égalité si et seulement si A est une progression arithmétique.

L'intérêt pour ce théorème et ses généralisations et applications a été ravivé par une nouvelle preuve due à Imre Z. Ruzsa (en)^[7],[8]. En 2002, Mei-Chu Chang a donné de nouvelles estimations polynomiales de la taille des progressions arithmétiques qui apparaissent dans le théorème^[9].

Green et Ruzsa ont généralisé le théorème pour un groupe abélien arbitraire^[10] : ici, A peut être contenu dans la somme d'une progression arithmétique généralisée et d'un sous-groupe.

• Théorème d'Erdős-Szemerédi
• Théorème de Kneser (combinatoire)
• Spectre de Markov

(en) Hamidoune’s Freiman-Kneser theorem for nonabelian groups, 12 mars 2011, sur le blog de Terence Tao

• Arithmétique et théorie des nombres