Théorie d'Artin-Schreier

Soit K un corps de caractéristique p, et a un élément de ce corps. Le corps de décomposition du polynôme X ^p – X + a au-dessus de K, est appelé extension d'Artin-Schreier. Si b est une racine de ce polynôme, alors les b + i pour i allant de 0 à p – 1 sont les p racines du polynôme (cf. morphisme de Frobenius), et elles sont distinctes. Deux cas sont alors possibles.

• Si l'une de ses racines appartient à K, toutes appartiennent à K et le polynôme est donc scindé sur K.
• Sinon, si l'une des racines n'appartient pas à K, alors aucune des racines n'est dans K, dit autrement a n'est pas de la forme x – x ^p, x ∈ K. Le polynôme X ^p – X + a est alors irréductible sur K. Son corps de décomposition (et corps de rupture) K[b] est une extension cyclique de degré p de K, un générateur du groupe de Galois de l'extension étant donné par le morphisme défini par b ↦ b + 1.

Dans le second cas, le corps de décomposition de X ^p – X + a est K-engendré par b, les p racines b + i du polynôme étant dans K[b] et distinctes. Cette extension de K est alors séparable, donc de Galois. Il suffit de montrer que le polynôme est irréductible, et donc que K[b] est son corps de rupture, pour en déduire que le groupe de Galois est constitué des p morphismes alors définis par b ↦ b + i, i allant de 0 à p – 1.

Si un polynôme de K[X] de degré 0 < d < p divise X ^p – X + a, il est, dans K[b] produit de monômes (X - b - i), le coefficient de X ^{d - 1}, élément de K, est donc de la forme -db - j, avec j dans K (entier), d non nul dans K, ce qui n'est pas possible puisque b n'appartient pas à K. Le polynôme est bien irréductible^[1].

Par exemple, le corps fini à deux éléments admet comme extension d'Artin-Schreier le corps fini à 4 éléments, engendrée par le polynôme X² – X + 1 = X² + X + 1.