Théorème 90 de Hilbert

Premièrement, on montre la réciproque : Si ${\displaystyle a={\frac {b}{\sigma (b)}},}$ alors ${\displaystyle N(a)=N({\frac {b}{\sigma (b)}})}$. Or, la norme est un endomorphisme du groupe multiplicatif ${\displaystyle L^{\times }}$. De plus, on a ${\displaystyle N({\frac {1}{\sigma (b)}})=(N(\sigma (b)))^{-1}}$. Enfin, ${\displaystyle L}$ est une extension de Galois, donc elle est en particulier séparable, c'est-à-dire que la norme de ${\displaystyle b}$ est le produit de ses conjugués, et il en est alors de même pour chacun de ses conjugués, en particulier ${\displaystyle \sigma (b)}$. On a donc ${\displaystyle N(\sigma (b))=N(b)}$, d'où ${\displaystyle N({\frac {b}{\sigma (b)}})=N(b)\times (N(\sigma (b)))^{-1}=N(b)\times (N(b))^{-1}=1}$, ce qui conclut.

Pour montrer le sens direct, on suppose ${\displaystyle Gal(L/K)=(\sigma )}$, et ${\displaystyle dim_{K}(L)=n}$.

Soit ${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}\varphi &:&L&\to &L\\&&x&\mapsto &x+a\sigma (x)+a\sigma (a)\sigma ^{2}(x)+\dots +a\sigma (a)\dots \sigma ^{n-2}(a)\sigma ^{n-1}(x)\\\end{array}}}$. Par le théorème d'indépendance de Dedekind, notre application est non-nulle.

On pose ${\displaystyle b=\varphi (\theta )}$ ${\displaystyle \neq 0}$ pour ${\displaystyle \theta \in K}$. Alors ${\displaystyle a\sigma (b)=a\sigma (\theta )+a\sigma (a)\sigma ^{2}(\theta )+\dots +a\sigma (a)\dots \sigma ^{n-1}(a)\theta }$ par propriétés du morphisme ${\displaystyle \sigma }$.

Or, ${\displaystyle a\sigma (a)\dots \sigma ^{n-1}(a)\theta =\theta }$ d'après notre hypothèse de départ, on a donc, après réduction, ${\displaystyle a\sigma (b)=b}$, c'est-à-dire ${\displaystyle a={\frac {b}{\sigma (b)}}}$, ce qui conclut.

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