Théorie d'Iwasawa

Le théorème fondateur de la théorie, dû à Iwasawa, porte sur le comportement du groupe des classes le long d'une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension. Soit ${\displaystyle p\,}$ un nombre premier, ${\displaystyle K\,}$ un corps de nombres, et ${\displaystyle \bigcup _{n}K_{n}\,}$ une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\,}$-extension de ${\displaystyle K\,}$. Pour chaque ${\displaystyle n\,}$, on s'intéresse au cardinal du ${\displaystyle p\,}$-Sylow du groupe des classes de ${\displaystyle K_{n}\,}$ ; notons le ${\displaystyle p^{e_{n}}\,}$. Alors, il existe des entiers ${\displaystyle \mu \,}$, ${\displaystyle \lambda \,}$ (positifs), ${\displaystyle \nu \,}$ (de signe quelconque), tels que pour ${\displaystyle n\,}$ assez grand, on ait :

${\displaystyle e_{n}=\mu p^{n}+\lambda n+\nu \,}$

Notons A(K_n) le p-Sylow du groupe des classes du corps K_n. Par la théorie du corps de classes, il existe une extension L_n de K_n tel que ${\displaystyle A(K_{n})\simeq Gal(L_{n}/K_{n})}$ : L_n est la p-extension abélienne non ramifiée maximale de K_n. L'union des corps L_n fournit alors un corps L, qui est la pro-p- extension abélienne non ramifiée maximale de ${\displaystyle K_{\infty }}$.

On considère alors le groupe de Galois ${\displaystyle X=Gal(L/K_{\infty })}$ :

• X est la limite projective des groupes ${\displaystyle Gal(L_{n}/K_{n})}$, qui apparaissent comme des quotients de X.
• X en tant que pro-p-groupe abélien a une structure naturelle de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-module.
• Par ailleurs, le groupe de Galois de l'extension cyclotomique ${\displaystyle Gal(K_{\infty }/K)}$ agit sur X, dont on peut montrer qu'il est ainsi muni d'une structure de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[[T]]}$-module, c'est-à-dire de module d'Iwasawa.

L'investigation de la structure des modules d'Iwasawa relève de l'algèbre linéaire. Connaissant leur classification à pseudo-isomorphisme près, et ayant calculé par quel sous-groupe on quotiente X pour obtenir ${\displaystyle Gal(L_{n}/K_{n})}$, on peut en déduire l'estimation asymptotique du cardinal de ces groupes, qui fournit la formule annoncée sur A(Kⁿ).

• L'invariant ${\displaystyle \mu }$ est nul pour la ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension cyclotomique au-dessus d'une extension abélienne de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (théorème de Ferrero-Washington). Des exemples sont connus d'autres extensions où il n'est pas nul.
• L'invariant ${\displaystyle \lambda }$ est connu par exemple pour les corps quadratiques imaginaires, par la formule de Kida. Il est conjecturé qu'il est nul pour les corps totalement réels, c'est la conjecture de Greenberg.
• La structure de module d'Iwasawa du groupe ${\displaystyle X=Gal(L/K_{\infty })}$ est relié dans certains cas à certaines fonctions L p-adiques, par la conjecture principale en théorie d'Iwasawa, démontrée pour ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ par Barry Mazur et Andrew Wiles en 1984^[1], puis pour tout corps de nombres totalement réel par Wiles en 1990^[2]. Leurs techniques s'inspiraient de celles utilisées par Ken Ribet dans sa preuve du théorème de Herbrand-Ribet. Karl Rubin a démontré d'autres généralisations de la conjecture pour les corps quadratiques imaginaires^[3]. Plus récemment, s'inspirant de la méthode de Ribet, Chris Skinner et Éric Urban ont annoncé une preuve de la conjecture principale pour GL(2)^[4].

Le développement des idées d'Iwasawa peut se faire selon plusieurs axes :

• on considère le comportement le long des étages d'une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension d'autres objets que le groupe de classes, notamment du groupe de Mordell-Weil d'une courbe elliptique. On parle de théorie d'Iwasawa des courbes elliptiques.
• on considère le comportement des objets arithmétiques non plus le long d'une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension, mais dans des extensions infinies ayant d'autres groupes de Galois : par exemple ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{d}}$, ou plus généralement un groupe analytique p-adique. Se développe ainsi une théorie d'Iwasawa non commutative, notamment sous l'impulsion de John Coates.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Iwasawa theory » (voir la liste des auteurs).
• (en) Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields [détail des éditions]

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