Théorie des connections fonctionnelles

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Pour contextualiser la méthode considérons un problème d'interpolation générique comportant n contraintes, tel qu'une équation différentielle soumise à un problème aux limites. Quelle que soit l'équation différentielle, ces contraintes peuvent être cohérentes ou incohérentes. Par exemple, dans un problème défini sur le domaine D : [0, 1] × [0, 1], les contraintes f₁(x, 0) = 1 + x et f₂(0, y) = 2 - y sont incohérentes, car elles donnent des valeurs différentes en (0, 0). Si les n contraintes sont compatibles, une fonction interpolant ces contraintes peut être construite en sélectionnant ${\displaystyle n}$ fonctions de base linéairement indépendante telles que les monômes ${\displaystyle \{1,x,x^{2},\cdots ,x^{n-1}\}}$. L'ensemble de fonctions de base choisi peut être compatible ou non avec les contraintes données. Par exemple, les contraintes ${\displaystyle y(-1)=y(+1)=0}$ et ${\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}{\bigg |}_{x=0}=1}$ sont incompatibles avec les fonctions de base, ${\displaystyle \{1,x,x^{2}\}}$, comme on peut facilement le vérifier. Si les fonctions de base sont compatibles avec les contraintes, le problème d'interpolation peut être résolu, ce qui donne un interpolant^[1], fonction qui satisfait toutes les contraintes. Choisir un ensemble différent de fonctions de base conduirait à un interpolant différent. Lorsqu'un problème d'interpolation est résolu et qu'un interpolant initial est déterminé, tous les interpolants possibles peuvent donc, en principe, être générés en effectuant le processus d'interpolation avec chaque ensemble distinct de fonctions de base linéairement indépendantes compatibles avec les contraintes. Cependant, cette méthode est impraticable, car le nombre d'ensembles possibles de fonctions de base est infini.

L'interpolation de fonctions produit une fonction d'interpolation unique, tandis que l'interpolation fonctionnelle génère une famille de fonctions représentées par une fonctionnelle. Celle-ci définit le sous-espace des fonctions qui satisfont intrinsèquement les contraintes données, réduisant ainsi l'espace des solutions à la région où se situent les solutions du problème d'optimisation sous contraintes. Grâce à ces fonctionnelles, les problèmes d'optimisation sous contraintes peuvent être reformulés en problèmes sans contraintes. Cette reformulation permet des méthodes de résolution plus simples et plus efficaces, améliorant souvent la précision, la robustesse et la fiabilité.

La théorie traite les contraintes impliquant des points, des dérivées, des intégrales et toute combinaison linéaire de ces éléments^[2]. Elle peut également être étendue pour prendre en compte les contraintes infinies et multivariées et appliquée à la résolution d'équations ordinaires, partielles et intégro-différentielles. Le problème de cohérence, relatif aux contraintes, à l'interpolation et à l'interpolation fonctionnelle, est traité en détail dans^[3]. Ceci inclut les difficultés de cohérence liées aux conditions aux limites impliquant des dérivées de cisaillement et des dérivées mixtes.

La version univariée de la théorie des connexions fonctionnelles peut être exprimée sous l'une des deux formes suivantes^[4] :

${\displaystyle {\begin{cases}f{\big (}x,g(x){\big )}=g(x)+\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\eta _{j}{\big (}x,g(x){\big )}\,s_{j}(x)\\f{\big (}x,g(x){\big )}=g(x)+\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\phi _{j}{\big (}x,\mathbf {s} (x){\big )}\,\rho _{j}{\big (}x,g(x){\big )},\end{cases}}}$

où ${\displaystyle n}$ représente le nombre de contraintes linéaires, ${\displaystyle g(x)}$ la fonction libre et les ${\displaystyle s_{j}(x)}$ sont ${\displaystyle n}$ fonctions de base linéairement indépendantes, définies par l'utilisateur. Les termes ${\displaystyle \eta _{j}(x,g(x))}$ sont les « fonctions de coefficient », ${\displaystyle \phi _{j}(x)}$ sont les « fonctions de commutation » (qui prennent la valeur 1 lorsqu'elles sont évaluées à leur contrainte respective et 0 aux autres contraintes), et ${\displaystyle \rho _{j}(x,g(x))}$ sont les « fonctions de projection » qui expriment les contraintes en fonction de la fonction libre.

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Pour illustrer la méthode, considérons les contraintes suivantes : ${\displaystyle {\dot {y}}(x_{1})=a_{1}}$ et ${\displaystyle {\dot {y}}(x_{2})=a_{2}}$. Une fonction d'interpolation satisfaisant ces contraintes est :

${\displaystyle f_{a}(x)={\dfrac {x(2x_{2}-x)}{2(x_{2}-x_{1})}}\,a_{1}+{\dfrac {x(x-2x_{1})}{2(x_{2}-x_{1})}}\,a_{2},}$

comme on peut facilement le vérifier. Du fait de cette propriété d'interpolation, la dérivée de la fonction,

${\displaystyle \delta (x)=g(x)-{\dfrac {x(2x_{2}-x)}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {g}}(x_{1})-{\dfrac {x(x-2x_{1})}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {g}}(x_{2})}$

s'annule en ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ pour toute fonction ${\displaystyle g(x)}$. Par conséquent, en ajoutant δ(x) à f_a(x), on obtient une fonctionnelle qui satisfait toujours les contraintes :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x,g(x))&=&f_{a}+\delta (x)\\&=&{\frac {x(2x_{2}-x)}{2(x_{2}-x_{1})}}a_{1}+{\frac {x(x-2x_{1})}{2(x_{2}-x_{1})}}a_{2}+g(x)-{\frac {x(2x_{2}-x)}{2(x_{2}-x_{1})}}{\dot {g}}(x_{1})-g(x_{2})-{\frac {x(x-2x_{1})}{2(x_{2}-x_{1})}}{\dot {g}}(x_{2})\end{array}}}$

Quelle que soit la valeur de g(x), cette fonctionnelle est dite contrainte. Pour que la fonctionnelle ${\displaystyle f(x,g(x))}$ fonctionne comme prévu, il est indispensable que les termes ${\displaystyle {\dot {g}}(x_{1})}$ et ${\displaystyle {\dot {g}}(x_{2})}$ soient définis. Une fois cette condition remplie, la fonctionnelle peut prendre n'importe quelle valeur au-delà des contraintes spécifiées, grâce à la flexibilité infinie offerte par g(x). Il est important de noter que cette flexibilité ne se limite pas aux contraintes spécifiques choisies dans cet exemple ; elle s'applique universellement à tout ensemble de contraintes. Cette universalité illustre le fonctionnement de la méthode pour l'interpolation fonctionnelle : elle construit une fonction qui satisfait les contraintes données tout en laissant une totale liberté quant à son comportement par ailleurs, grâce au choix de g(x). En substance, cet exemple démontre que la fonctionnelle contrainte f(x, g(x)) englobe toutes les fonctions possibles qui respectent les contraintes données, illustrant ainsi la puissance et la généralité de la méthode pour traiter une grande variété de problèmes d'interpolation.

La méthode a été étendue et employée dans diverses applications, notamment pour :

• l'analyse des opérateurs fractionnaires^[5],
• la détermination des géodésiques pour les problèmes aux limites dans l'espace courbe^[6],
• le contrôle optimal indirect^[7],[8],
• la modélisation de la cinétique chimique raide (pour un système comportant des cinétiques de réactions lentes et rapides)^[9],,
• l'étude de la dynamique épidémiologique^[10],
• la mécanique spatiale pour la détermination des géodésiques pour les problèmes aux limites dans l'espace courbe^[11], dans les méthodes de continuation d'homotopie^[12],[13] et pour la résolution efficace du problème de Lambert^[14],[15],
• la programmation non linéaire^[16],
• la mécanique des structures^[17],[18]
• le transfert radiatif^[19],
• les réseau de neurones^{[20],[21],[22]}, en particulier les réseaux de neurones informés par la physique^[23].

Les multiplicateurs de Lagrange permettent d'imposer des contraintes dans un problème de minimisation. La résolution du problème correspondant peut dans certains cas s'avérer difficile du fait de l'inroduction de nouvelles variables. Dans ces cas la métode présente peut s'y substituer. Cependant elle ne peut pas, comme la méthode des multiplicateurs, traiter de contraintes de type inégalité.