Théorie des possibilités

Étant donné un univers Ω que l'on suppose fini pour simplifier la présentation, une mesure ou distribution de possibilité est une fonction ${\displaystyle \operatorname {pos} }$ de ${\displaystyle 2^{\Omega }}$ dans [0, 1], c'est-à-dire à chaque sous-ensemble d'événements U, on associe pos(U) qui mesure la possibilité de U. Si pos(U) = 0 alors U est impossible, si pos(U) = 1 alors U est normal, sans surprise. La fonction satisfait trois axiomes :

1. ${\displaystyle \operatorname {pos} (\varnothing )=0}$
2. ${\displaystyle \operatorname {pos} (\Omega )=1}$
3. ${\displaystyle \operatorname {pos} (U\cup V)=\max \left(\operatorname {pos} (U),\operatorname {pos} (V)\right)}$pour tout sous-ensemble ${\displaystyle U}$ et ${\displaystyle V}$

Si l'univers Ω est infini, l'axiome 3 s'écrit :

• Pour tout ensemble d'indices ${\displaystyle I}$, si les sous-ensembles ${\displaystyle U_{i,\,i\in I}}$sont deux-à-deux disjoints, alors ${\displaystyle \operatorname {pos} \left(\bigcup _{i\in I}U_{i}\right)=\sup _{i\in I}\operatorname {pos} (U_{i}).}$

La nécessité est le dual de la possibilité dans le sens suivant. On définit une fonction nec qui mesure la nécessité d'un sous-ensemble d'événements par : ${\displaystyle \operatorname {nec} (U)=1-\operatorname {pos} ({\overline {U}})}$.

La théorie des possibilités généralise la théorie des probabilités dans le sens où se donner une fonction de possibilité revient à se donner une borne supérieure sur les probabilités :

${\displaystyle \left\{\,p:\forall S\ p(S)\leq \operatorname {pos} (S)\,\right\}.}$