Théorie effective

L'idée principale derrière une théorie effective est d'éliminer des degrés de liberté non pertinents au phénomène en considération. En pratique, les degrés de liberté éliminés sont les fluctuations de petite longueur d'onde et haute énergie dans une théorie des champs.

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La théorie quantique des champs fournit une procédure systématique permettant de calculer de façon perturbative toutes les observables d'une théorie (c'est-à-dire les fonctions de corrélation entre les différents opérateurs quantifiés de la théorie) étant donné son Lagrangien microscopique. Les degrés de liberté de la théorie étant classés selon leur masse, il apparaît que pour des énergies d'observation faibles, la contribution dominante aux observables provient des excitations les plus légères (on dit que seuls ces degrés de liberté sont visibles) et que la contribution des excitations plus massives joue le rôle de correction au résultat fourni par les excitations visibles. Une façon très commode en pratique de résumer ce processus est d'introduire un Lagrangien, appelé Lagrangien effectif, dont les termes sont des opérateurs classiques correspondant aux degrés de liberté observés à basse énergie et dont les constantes de couplage sont précisément les observables calculées précédemment. Dans cette approche, les observables classiques calculées sur la base du Lagrangien effectif correspondent par construction aux fonctions de corrélation issues de la théorie quantique.

De cette manière, calculer les observables de la théorie à un ordre élevé en théorie des perturbations revient à affiner le calcul des constantes de couplage de la théorie effective.

Si bien souvent le Lagrangien microscopique et le Lagrangien effectif peuvent avoir une forme similaire, ce n'est pas nécessaire en général. Par exemple, dans le cas des théories conformes à deux dimensions décrivant un modèle sigma non linéaire, la théorie microscopique est une théorie quantique des champs à deux dimensions mais la théorie effective est une théorie classique des champs vivant sur l'espace-cible du modèle sigma qui a une dimensionnalité différente. C'est précisément de cette manière qu'en théorie des cordes, des théories de champs couplées à la relativité générale apparaissent comme théories effectives de la théorie conforme définie sur la feuille d'univers bidimensionnelle des cordes.

Théories effectives en mécanique classique

L'idée de théorie effective, bien qu'étant particulièrement utile en théorie quantique des champs, n'est pas réservée à ce domaine. Le but de créer une théorie effective en physique est de réduire le nombre de degrés de liberté dans une théorie, gardant seulement les degrés de liberté d'intérêt. Le concept de théorie effective existe également en mécanique classique, bien qu'il est rarement utilisé.

Un exemple trivial d'une théorie effective peut être obtenu à partir de la somme de deux lagrangiens. Soit $q_{1}$ et $q_{2}$ , deux degrés de liberté, et les lagrangiens ${\mathcal {L}}_{1}(q_{1},{\dot {q}}_{1},t)$ et ${\mathcal {L}}_{2}(q_{2},{\dot {q}}_{2},t)$ . Considérons un système physique décrit par ${\mathcal {L}}(q_{1},{\dot {q}}_{1},q_{2},{\dot {q}}_{2},t)={\mathcal {L}}_{1}(q_{1},{\dot {q}}_{1},t)+{\mathcal {L}}_{2}(q_{2},{\dot {q}}_{2},t).$ La physique du degré de liberté $q_{2}$ est entièrement contenue dans ${\mathcal {L}}_{2}(q_{2},{\dot {q}}_{2},t)$ , donc si un physicien s'intéresse seulement à d’observables dépendantes de $q_{2}$ , il est utile de considérer uniquement ${\mathcal {L}}_{2}(q_{2},{\dot {q}}_{2},t)$ . ${\mathcal {L}}_{2}(q_{2},{\dot {q}}_{2},t)$ est, dans ce contexte, un lagrangien effectif.

Considérons maintenant le lagrangien ${\mathcal {L}}'(q_{1},{\dot {q}}_{1},q_{2},{\dot {q}}_{2},t)={\mathcal {L}}_{1}(q_{1},{\dot {q}}_{1},t)+{\mathcal {L}}_{2}(q_{2},{\dot {q}}_{2},t)-V(q_{1},q_{2},t).$ Dans celui-ci, il n'est pas autant évident d'isoler $q_{2}$ . L'équation Euler-Lagrange du degré de liberté $q_{1}$ est donnée par ${\frac {\partial {\mathcal {L}}_{1}}{\partial q_{1}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{1}}{\partial {\dot {q}}_{1}}}={\frac {\partial V(q_{1},q_{2},t)}{\partial q_{1}}}.$ C'est une équation différentielle dont la solution est donnée par $q_{1}(q_{2},t)$ . En entrant cette solution dans le lagrangien ${\mathcal {L}}'$ , un lagrangien où la dépendance en $q_{1}$ a été éliminée est obtenu: ${\mathcal {L}}'(q_{1}(q_{2},t),{\dot {q}}_{1}(q_{2},t),q_{2},{\dot {q}}_{2},t)\equiv {\mathcal {L}}_{eff}(q_{2},{\dot {q}}_{2},t).$ ${\mathcal {L}}_{eff}$ décrit le même système que ${\mathcal {L}}'$ (ce n'est pas une approximation), pourtant le nombre de degrés de liberté a été réduit. Le coût à payer pour cette substitution est qu'aucune observable en lien avec $q_{1}$ ne peut être calculée directement à partir de ${\mathcal {L}}_{eff}$ .

En pratique, il n'est pas toujours possible ou évident de solutionner l'équation d'Euler-Lagrange pour $q_{1}$ . Les physiciens utilisent une méthode formelle inspirée des fonctions de Green: si l'équation d'Euler-Lagrange pour $q_{1}$ peut être mise sous la forme $Lq_{1}=f(q_{2},t),$ où $L$ est un opérateur différentiel qui, par hypothèse, a un inverse, alors la solution formelle $q_{1}(q_{2},t)$ est donnée par $q_{1}(q_{2},t)=L^{-1}f(q_{2},t)\equiv Gf(q_{2},t).$ En analogie avec la méthode des fonctions de Green, $G$ est appelé la fonction de Green (remarquez que $G$ n'est pas, en général, une fonction). ${\mathcal {L}}_{eff}$ est donné par ${\textstyle {\mathcal {L}}'(Gf(q_{2},t),{\frac {d}{dt}}{\big (}Gf(q_{2},t){\big )},q_{2},{\dot {q}}_{2},t)}$ ^[1]. Ces développements peuvent paraître relativement abstrait, ci-dessous se trouve un exemple de cette méthode.

Exemple de fonctions de Green

Soit le lagrangien ${\mathcal {L}}(q_{1},{\dot {q}}_{1},q_{2},{\dot {q}}_{2},t)={\frac {m{\dot {q}}_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m{\dot {q}}_{2}^{2}}{2}}-{\frac {V_{0}}{2}}(q_{1}-q_{2})^{2}.$ Ce lagrangien décrit, par exemple, deux oscillateurs harmoniques couplés^[2]. L'équation d'Euler-Lagrange pour $q_{1}$ donne $-m{\ddot {q}}_{1}-V_{0}q_{1}+V_{0}q_{2}=0,$ qui peut s'écrire ${\Big (}m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}+V_{0}{\Big )}q_{1}=V_{0}q_{2}.$ En identifiant $L=m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}+V_{0}$ , et la solution formelle est obtenue: $q_{1}(q_{2},t)=V_{0}{\frac {q_{2}}{m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}+V_{0}}}.$ Pour faire sens de cette solution, il faut aller dans le domaine de Fourier (le domaine des fréquences), où ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}$ est représenté par $(-i\omega )^{2}$ et $\omega$ est la fréquence temporelle. En particulier, $q_{i}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\tilde {q}}_{i}(\omega )e^{-i\omega t}$ , où ${\tilde {q}}_{i}$ sont les transformées de Fourier et $i=1,2$ . Dans cette base l'équation $Lq_{1}=V_{0}q_{2}$ s'écrit $(-\omega ^{2}+V_{0}){\tilde {q}}_{1}=V_{0}{\tilde {q}}_{2},$ et $q_{1}=L^{-1}q_{2}$ s'écrit $q_{1}(q_{2},t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\frac {{\tilde {q}}_{2}(\omega )e^{-i\omega t}}{V_{0}-\omega ^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \int _{-\infty }^{\infty }dt'\,{\frac {q_{2}(t')e^{i\omega t'}e^{-i\omega t}}{V_{0}-\omega ^{2}}}.$ L'expression pour $q_{1}(q_{2},t)$ peut ensuite être remplacée dans le lagrangien pour obtenir un lagrangien effectif^[1]. Remarquez que l'action effective qui en découle est non-locale en temps, ce qui peut rendre le traitement des théories effectives particulièrement compliqué. Une méthode alternative est de faire l'hypothèse que $q_{2}$ varie suffisamment lentement, dans quel cas $G=L^{-1}$ admet une expansion en série géométrique, et $q_{1}(q_{2},t)=(1-{\frac {1}{V_{0}}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1}{V_{0}^{2}}}{\frac {d^{4}}{dt^{4}}}+\,...)q_{2}.$ La validité de cette hypothèse dépend largement de la physique du problème en considération. Remarquez que l'insertion de $q_{1}$ dans le lagrangien mène à des termes avec des dérivées temporelles d'ordre plus grand qu’un, témoignant de la non-localité de la théorie effective.

Théories effectives en mécanique quantique

Un traitement analogique existe en mécanique quantique indépendante du temps^[3]. Supposons qu'un système peut être décrit par un hamiltonien représenté par $H={\begin{pmatrix}H_{A}&H_{AB}\\H_{BA}&H_{B}\end{pmatrix}}.$ La fonction d'onde a la forme correspondante $\Psi ={\begin{pmatrix}\psi _{A}\\\psi _{B}\end{pmatrix}},$ où $\psi _{A}$ a les dimensions de $H_{A}$ et $\psi _{B}$ a les dimensions de $H_{B}$ . Nous cherchons à réduire les degrés de liberté de sorte qu'on ait une équation de la forme $H_{eff}\psi _{B}=E\psi _{B}$ . L'équation de Schrödinger est donnée par $H\Psi =E\Psi =E{\begin{pmatrix}\psi _{A}\\\psi _{B}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}H_{a}\psi _{A}+W\psi _{B}\\W^{\dagger }\psi _{A}+H_{B}\psi _{B}\end{pmatrix}}.$ On peut solutionner $E\psi _{A}=H_{A}\psi _{A}+W\psi _{B}$ de la même façon qu'en mécanique classique: $(E-H_{A})\psi _{A}=W\psi _{B}$ est de la forme $L\psi _{A}=f(\psi _{B})$ et donc la solution est donnée par $\psi _{A}=(E-H_{A})^{-1}W\psi _{B}\equiv G_{A}W\psi _{B},$ où l'on a introduit la fonction de Green de $H_{A}$ , $G_{A}$ . En insérant cela dans l'équation de Schrödinger $E\psi _{B}=H_{B}\psi _{B}+W^{\dagger }G_{A}(E)W\psi _{B},$ l'hamiltonien effectif pour le sous-système $B$ est donc donné par $H_{eff}=H_{B}+W^{\dagger }G_{A}(E)W$ ^[3]. Notez que, comme dans le cas classique, $G_{A}(E)$ admet une décomposition en série géométrique: $G_{A}(E)={\frac {1}{E}}{\Bigg (}I+{\frac {H_{A}}{E}}+{\frac {H_{A}^{2}}{E^{2}}}+\,...{\Bigg )}.$ L'hamiltonien effectif dépend lui-même de l'énergie. Cela peut rendre le problème compliqué à résoudre. Le terme $W^{\dagger }G_{A}W$ est parfois appelé l'auto-énergie. Les hamiltoniens effectifs en mécanique quantique sont utiles dans le contexte de systèmes ouverts. Une extension de la méthode à la mécanique quantique dépendante du temps existe^[3].

Théories effectives en théorie des champs quantique et mécanique statistique

L'objet d'intérêt en théorie quantique des champs est souvent l'intégrale de chemin $Z$ . Considérons un système avec deux champs en interaction, $\phi _{1}(x)$ et $\phi _{2}(x)$ , décrit par la densité lagrangienne ${\mathcal {L}}(\phi _{1},\partial _{\mu }\phi _{1},\phi _{2},\partial _{\mu }\phi _{2},t)$ . L'intégrale de chemin est donnée par $K=\int D\phi _{1}D\phi _{2}e^{-i\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}},$ qui est une intégrale de chemin sur les champs $\phi _{1}$ et $\phi _{2}$ . Ici l'on utilise un système d'unités où $\hbar =1$ . La théorie effective pour le champ $\phi _{2}$ est tout simplement donnée en intégrant le champ $\phi _{1}$ : $K=\int D\phi _{2}e^{-i\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}_{eff}}.$ L'intégration a éliminé toute dépendance en $\phi _{1}$ , et ${\mathcal {L}}_{eff}$ décrit la théorie des champs effective pour $\phi _{2}$ ^[4]^,^[5]. Avec un nombre arbitraire de champs, l'idée reste la même: en intégrant un des champs, il est éliminé de la description et l'on obtient une densité lagrangienne effective, décrivant une théorie contenant seulement les champs restants.

Similairement, en mécanique statistique, l'objet d'intérêt est la fonction de partition. Dans un système classique à $N$ degrés de liberté, elle est donnée par $Z=\int dq_{1}...dq_{N}dp_{1}...dp_{N}\,e^{-\beta H(q_{1},\,...,q_{N},p_{1},\,...,p_{N},t)},$ où $\beta =1/(k_{B}T)$ est la température inverse. L'Hamiltonien effectif est obtenu en intégrant des degrés de liberté. Pour un champ classique, la fonction de partition est donnée par $Z=\int D\phi D\pi \,e^{-\beta \int d^{3}xH(\phi ,\pi )},$ qui est de la même forme que l'intégrale de chemin en théorie quantique des champs. Le même résultat en découle donc.

Champs gaussiens

En général, l'intégrale de chemin est difficilement évaluable, ce qui rend l'obtention d'une théorie effective une tâche souvent impossible. Cependant, il existe un cas particulier où l'évaluation des intégrales de chemin est possible. Si l'action peut être écrite comme $S=\int d^{4}x\,{\Big (}{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,t)+j(x)\phi (x){\Big )}=\int d^{4}x\int d^{4}y\,{\Big (}-{\frac {1}{2}}\phi (x)D(x,y)\phi (y)+j(x)\phi (x){\Big )},$ où $j(x)$ est un terme de source, alors une analogie avec l'intégrale gaussienne $\int d^{N}x\,e^{-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\dagger }M\mathbf {x} +\mathbf {x} ^{\dagger }\mathbf {b} }={\sqrt {\frac {2\pi }{\det M}}}e^{{\frac {1}{2}}\mathbf {b} ^{\dagger }M^{-1}\mathbf {b} },$ où $\mathbf {x}$ et $\mathbf {b}$ sont des vecteurs à $N$ composante et $M$ est une matrice $N\times N$ , peut être utilisée pour résoudre l'intégrale de chemin^[6]. L'intégrale de chemin d'un tel système est donnée par $K=\int D\phi \,e^{-iS}=\lim _{N\to \infty }{\sqrt {\frac {(2\pi )^{N}}{\det D}}}e^{\int d^{4}xd^{4}y\,{\frac {1}{2}}j(x)D^{-1}(x,y)j(y)}.$ Formellement, l'action peut être décrite comme $S=-{\frac {1}{2}}\phi D\phi +j\phi ,$ où les champs sont maintenant des vecteurs d'une infinité de composantes. La variation de l'action selon $\phi$ donne $\delta S=-D\phi +j,$ (où l'on suppose que $D$ est symétrique) et donc l'action est minimisée pour $D\phi =j.$ Cela est l'équation du mouvement classique pour le champ $\phi$ . La solution de cette équation est $\phi =D^{-1}j$ , et en remplaçant cela dans l'action, la même expression pour $K$ est obtenue. L'intégration de $\phi$ est donc équivalente à remplacer $\phi$ par sa valeur classique.

L'inverse de l'opérateur $D$ est appelé la fonction de Green, notée $G$ . En pratique, un grand nombre de théories peut être décrit par un lagrangien de la forme spécifiée ci-haut. Par exemple, $D\sim \partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2}$ avec un champ scalaire décrit la théorie Klein-Gordon, alors qu’ $\gamma ^{0}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)$ avec un champ de bispineurs décrit la théorie de Dirac.

Exemple: interaction de Coulomb à partir de l'électrodynamique quantique

La densité lagrangienne de l'électrodynamique quantique est donnée par ${\mathcal {L}}_{QED}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+ie{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi +{\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)\psi ,$ où $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ est le tenseur électromagnétique, $A_{\mu }$ est le quadripotentiel électromagnétique (décris les photons), $\psi$ est le champ de bispineurs (une variable de Grassmann; décris la matière), ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ et $\gamma ^{\mu }$ sont les matrices de Dirac. Cette action est quadratique en $A_{\mu }$ , les développements discutés précédemment sont donc applicables, et l'intégrale de chemin peut être performée sur le champ $A_{\mu }$ , pour avoir une théorie effective de la matière $\psi$ . Dans le régime stationnaire, ou quasi stationnaire, la théorie effective devrait prédire que la matière interagisse selon un potentiel de Coulomb.

Il y a une légère subtilité lorsque l'intégrale de chemin est évaluée pour le champ électromagnétique: pour que l'intégrale converge, il faut fixer une jauge au champ $A_{\mu }$ . Fixons la jauge de Lorentz: $\partial ^{\mu }A_{\mu }=0$ . Nous avons déduit que pour un lagrangien quadratique en $A_{\mu }$ , l'intégration de $A_{\mu }$ dans l'intégrale de chemin est équivalente à remplacer $A_{\mu }$ par sa valeur classique. La valeur classique de $A_{\mu }$ est donnée par les équations de Maxwell. Dans la jauge de Lorentz, celles-ci peuvent s'écrire $\partial _{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }=-j^{\mu },$ où ${\mathcal {L}}_{Maxwell}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+j_{\mu }A^{\mu }$ . En comparant avec ${\mathcal {L}}_{QED}$ , l'équation $j^{\mu }=ie{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$ est obtenue. La solution classique est donnée par $A^{\mu }=-{\frac {j^{\mu }}{\partial _{\nu }\partial ^{\nu }}}\equiv Gj^{\mu }.$ L'intégrale de chemin est $K=\int D^{4}AD\psi D{\bar {\psi }}e^{-iS_{QED}},$ et après l'intégration de $A_{\mu }$ $K\propto \int D\psi D{\bar {\psi }}\exp {\Bigg (}\int d^{4}x{\Big (}{\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)\psi +{\frac {1}{2}}j_{\mu }Gj^{\mu }{\Big )}{\Bigg )},$ où $j^{\mu }=ie{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$ . Dans la base de Fourier, $G\sim {\frac {-1}{\omega ^{2}-\mathbf {k} ^{2}}}$ . Dans le régime stationnaire (ou quasi stationnaire), $\omega \to 0$ , et $j^{\mu }\to \delta ^{\mu 0}j^{0}=\delta ^{\mu 0}\rho$ , où $\rho$ est la densité de matière. Le terme $j_{\mu }Gj^{\mu }$ devient donc $\int d^{4}x\int {\frac {d^{3}q}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\,{\frac {{\tilde {\rho }}(k,t){\tilde {\rho }}(q,t)e^{i(\mathbf {k} +\mathbf {q} )\cdot \mathbf {x} }}{\mathbf {k} ^{2}}}={\frac {1}{4\pi }}\int d^{4}x\int d^{3}y{\frac {\rho (\mathbf {x} ,t)\rho (\mathbf {y} ,t)}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}},$ qui est une interaction de Coulomb. Le lagrangien effectif est donc donné par ${\mathcal {L}}_{eff}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)\psi -{\frac {e^{2}}{2}}\int d^{3}y{\frac {\psi ^{\dagger }(\mathbf {x} ,t)\psi (\mathbf {x} ,t)\psi ^{\dagger }(\mathbf {y} ,t)\psi (\mathbf {y} ,t)}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {y} |}},$ qui correspond bien à un champ de matière avec une interaction de Coulomb à deux corps.

Théories à basse énergie et groupe de renormalisation

L'utilité principale des théories effectives est de faire le procédé de groupe de renormalisation et de produire des théories de basse énergie. Ces concepts sont si liés, que le terme théorie de champ effectif est souvent confus avec ceux-ci.

L'idée principale derrière ces deux idées est la suivante: n'importe quel champ admet une représentation en transformée de Fourier. Une échelle de temps et de distance $\Lambda ^{\mu }=(\Omega ,\mathbf {K} )$ peut être définie, et le champ peut être séparé en une partie avec des fluctuations plus petites que cette échelle, et une partie avec des fluctuations plus grandes que cette échelle: $\phi =\int _{k\geq \Lambda }d^{4}k\,{\tilde {\phi }}(k)e^{ik\cdot x}+\int _{k<\Lambda }d^{4}k\,{\tilde {\phi }}(k)e^{ik\cdot x}=\phi _{>\Lambda }+\phi _{<\Lambda }.$ Ces deux parties du champ peuvent être traitées comme deux champs indépendants: $K=\int D\phi e^{-iS[\phi ]}=\int D\phi _{>\Lambda }D\phi _{<\Lambda }e^{-iS[\phi _{\Lambda },\phi _{\Lambda }]}.$ Or, toutes nos observations et théories sont décrites à une échelle minimum. Par exemple, n'ayant pas une théorie de la gravité quantique, les fluctuations plus petites que la longueur de Planck nous sont inaccessibles. La physique que nous observons est nécessairement la théorie effective de $\phi _{<\Lambda }$ , soit une théorie effective à basse énergie^[6]. $\phi _{>\Lambda }$ peut done être intégré pour avoir une théorie effective de $\phi _{<\Lambda }$ , $K=\int D\phi _{<\Lambda }e^{-iS_{eff}[\phi _{<\Lambda }]}.$ L'idée derrière le groupe de renormalisation est fortement reliée aux théories effectives à basse énergie. Un fait surprenant auquel l'on fait face dans notre quotidien est que, bien que chaque objet macroscopique est composé d'une quantité énorme de particules, il suffit de quelques variables pour les décrire. Le groupe de normalisation adresse ce fait et fournit une méthode pour analyser les transitions de phase. Un lagrangien peut être construit à partir d'une série d'opérateurs ${\mathcal {O}}(x)$ . Considérons un changement d'échelle $x\to \lambda x$ . Nous allons considérer que les opérateurs se transforment comme ${\mathcal {O}}(x)\to {\mathcal {O}}(\lambda x)=\lambda ^{\Delta _{\mathcal {O}}}{\mathcal {O}}(x)$ sous ce changement d'échelle. En augmentant l'échelle, certains opérateurs gagnent donc de l'importance, alors que d'autre en perdent, selon le signe de $\Delta _{\mathcal {O}}$ . Il s'avère que la majorité des opérateurs possibles perdent de l'importance lors d'un changement d'échelle. Aux transitions de phase, les opérateurs de la théorie peuvent être invariants d'échelle, ils sont alors dits marginaux. Ainsi, la théorie effective à grande échelle ne sera dominée que par quelques opérateurs^[5].

Le procédé de groupe de renormalisation consiste en créer une série de théories effectives, d'échelle $\Lambda$ de plus en plus grande. Si la théorie originale avait des constantes de couplages, notées $\{\mu _{i}\}$ , qui étaient constantes, lors de l'intégration, les constantes peuvent devenir dépendantes de $\Lambda$ . Une série d'équations différentielles pour les $\{\mu _{i}(\Lambda )\}$ peut être créée pour capturer leur dépendance sur l'échelle. Ces équations différentielles ont une structure de semi-groupe, d'où le nom de groupe de renormalisation. En pratique, une théorie aura des points stables où, selon les $\{\mu _{i}\}$ initiaux, les $\{\mu _{i}(\Lambda )\}$ convergerons vers des valeurs constantes lorsque $\Lambda$ est augmenté. L'existence de ces points stables explique la stabilité de la matière.

Théorie effective

Théories effectives en mécanique classique

Exemple de fonctions de Green

Théories effectives en mécanique quantique

Théories effectives en théorie des champs quantique et mécanique statistique

Champs gaussiens

Exemple: interaction de Coulomb à partir de l'électrodynamique quantique

Théories à basse énergie et groupe de renormalisation

Références

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