Théorème ATS

1. Pour ${\displaystyle B>0,B\to +\infty ,}$ ou ${\displaystyle B\to 0,}$ la notation ${\displaystyle 1\ll {\frac {A}{B}}\ll 1}$ signifie qu'il existe des constantes ${\displaystyle C_{1}>0}$ et ${\displaystyle C_{2}>0,}$ telles que ${\displaystyle C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.}$

2. Pour un nombre réel ${\displaystyle \alpha ,}$ la notation ${\displaystyle \|\alpha \|}$ désigne la distance au plus proche entier ${\displaystyle \|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \})}$.

Soient les fonctions réelles ƒ(x) et ${\displaystyle \varphi (x)}$ définies sur le segment [a, b] satisfaisants les conditions suivantes :

1) ${\displaystyle f''''(x)}$ et ${\displaystyle \varphi ''(x)}$ sont continues ;

2) il existe des nombres ${\displaystyle H,}$${\displaystyle U}$ et ${\displaystyle V}$ tels que

${\displaystyle H>0,\qquad 1\ll U\ll V,\qquad 0<b-a\leq V}$

et

${\displaystyle {\begin{array}{rc}{\frac {1}{U}}\ll f''(x)\ll {\frac {1}{U}}\ ,&\varphi (x)\ll H,\\\\f'''(x)\ll {\frac {1}{UV}}\ ,&\varphi '(x)\ll {\frac {H}{V}},\\\\f''''(x)\ll {\frac {1}{UV^{2}}}\ ,&\varphi ''(x)\ll {\frac {H}{V^{2}}}.\\\\\end{array}}}$

On définit les réels ${\displaystyle x_{\mu }}$ par l'équation

${\displaystyle f'(x_{\mu })=\mu ,}$

Alors

${\displaystyle \sum _{a<\mu \leq b}\varphi (\mu )e^{2\pi if(\mu )}=\sum _{f'(a)\leq \mu \leq f'(b)}C(\mu )Z(\mu )+R,}$

où

${\displaystyle R=O\left({\frac {HU}{b-a}}+HT_{a}+HT_{b}+H\log \left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);}$

${\displaystyle T_{j}={\begin{cases}0,&{\text{si }}f'(j){\text{ est un entier}};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}},{\sqrt {U}}\right),&{\text{si }}\|f'(j)\|\neq 0;\\\end{cases}}}$

${\displaystyle j=a,b;}$

${\displaystyle C(\mu )={\begin{cases}1,&{\text{si }}f'(a)<\mu <f'(b);\\{\frac {1}{2}},&{\text{si }}\mu =f'(a){\text{ ou }}\mu =f'(b);\\\end{cases}}}$

${\displaystyle Z(\mu )={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\frac {\varphi (x_{\mu })}{\sqrt {f''(x_{\mu })}}}e^{2\pi i(f(x_{\mu })-\mu x_{\mu })}\ .}$

La variante la plus simple du théorème ATS est le lemme de Van der Corput.

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction réelle dérivable sur l'intervalle ${\displaystyle ]a,b]}$ avec ${\displaystyle f'}$ monotone de signe constant et soit une constante ${\displaystyle \delta }$ telle que ${\displaystyle 0<\delta <1}$ satisfait l'inégalité ${\displaystyle |f'|\leq \delta .}$ Alors

${\displaystyle \sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}dx+\theta \left(3+{\frac {2\delta }{1-\delta }}\right),}$

où ${\displaystyle |\theta |\leq 1.}$

Si les paramètres ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont des nombres entiers, alors il est possible de substituer la dernière relation par les suivantes :

${\displaystyle \sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}\,dx+{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(b)}-{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(a)}+\theta {\frac {2\delta }{1-\delta }},}$

où ${\displaystyle |\theta |\leq 1.}$

Sur les applications de l'ATS aux problèmes de physique, voir^{[11],[12],[13],[14]}.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « ATS theorem » (voir la liste des auteurs).

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