Théorème central limite pour les chaînes de Markov

Supposons que :

• la séquence ${\textstyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ de variables aléatoires à valeurs dans un certain ensemble, est une chaîne de Markov qui possède une distribution stationnaire
• la distribution initiale du processus, c'est-à-dire la distribution de ${\textstyle X_{1}}$ est la distribution stationnaire, de sorte que ${\textstyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ sont identiquement distribuées. Dans le théorème central limite classique, on supposerait que ces variables aléatoires sont également indépendantes, mais nous n'avons ici que l'hypothèse plus faible que le processus possède la propriété de Markov
• ${\textstyle g}$ est une fonction mesurable à valeurs réelles satisfaisant${\textstyle \operatorname {var} (g(X_{1}))<+\infty .}$

On pose^[1][2]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\operatorname {E} (g(X_{1})),\\{\widehat {\mu }}_{n}&={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}g(X_{k})\\\sigma ^{2}&:=\lim _{n\to \infty }\operatorname {var} ({\sqrt {n}}{\widehat {\mu }}_{n})=\lim _{n\to \infty }n\operatorname {var} ({\widehat {\mu }}_{n})=\operatorname {var} (g(X_{1}))+2\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {cov} (g(X_{1}),g(X_{1+k})).\end{aligned}}}$

Alors, lorsque ${\textstyle n\to \infty ,}$ on a la convergence en loi suivante

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\mu }}_{n}-\mu )\ \xrightarrow {\mathcal {D}} \ {\text{Normal}}(0,\sigma ^{2}).}$