Théorème de Balian-Low

Soit g une fonction de carré sommable sur la droite réelle. Posons pour tout couple d'entiers m et n :

${\displaystyle g_{m,n}\left(x\right)\ =\ e^{2\pi imx}\ g\left(x-n\right),}$

Si l'ensemble des ${\displaystyle \{g_{m,n}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ forme une base orthonormée de l'espace de Hilbert ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$, alors on a :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\ |g\left(x\right)|^{2}\ dx\ =\ \infty }$

ou bien :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}\ |{\hat {g}}\left(\xi \right)|^{2}\ d\xi \ =\ \infty }$

avec ${\displaystyle {\hat {g}}}$ la transformée de Fourier de la fonction g.

On appelle famille de Gabor tout ensemble de la forme :

${\displaystyle f_{m,n}\left(t\right)\ =\ e^{2\pi imF_{0}t}\ f\left(t-nT_{0}\right),}$

avec f une fonction de carré sommable sur la droite réelle, appelée fonction prototype ; ${\displaystyle F_{0}}$ et ${\displaystyle T_{0}}$ deux constantes réelle, et (m, n) un couple d'entiers.

On appelle densité de la famille le nombre réel :

${\displaystyle d\ =\ {\frac {1}{F_{0}\,T_{0}}}}$

Dans ce contexte, le théorème de Balian-Low s'énonce sous la forme d'un principe d'incertitude :

« Il n'existe pas de famille de Gabor formant une base orthonormée de densité 1 ayant une fonction prototype f à la fois bien localisée en temps et en fréquence. »

• Analyse de Fourier
• Théorie du signal
• Roger Balian

• Roger Balian, Un principe d'incertitude fort en théorie du signal ou en mécanique quantique, Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences (Paris) 292 (1981), 1357-1362 ;
• Francis Low, Complete sets of wave packets, dans : C. DeTar (editor), A Passion for Physics - Essay in Honor of Geoffrey Chew, World Scientific (Singapour-1985), 17-22 ;
• Yves Meyer, Le traitement du signal et l'analyse mathématique, Annales de l'institut Fourier 50 (2) (2000), 593-632 ; Numdam
• J. Benedetto, C. Heil & D. Walnut, Differentiation and the Balian-Low theorem, J. Fourier Analysis and Applications 1 (1995).

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