Théorème de Bohr-Mollerup

En mathématiques, le théorème de Bohr–Mollerup porte le nom des deux mathématiciens danois Harald Bohr et Johannes Mollerup (de), qui l'ont démontré en 1922^[1].

Il caractérise la fonction gamma définie sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ (par $\Gamma (x)=\int _{0}^{+\infty }t^{x-1}\mathrm {e} ^{-t}~\mathrm {d} t$ ) comme étant la seule fonction de $\mathbb {R} _{+}^{*}$ dans $\mathbb {R} _{+}^{*}$ vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :

$f(1)=1$ ;
$f(x+1)=xf(x)$ pour tout $x\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ ;
$f$ est logarithmiquement convexe (i.e. $\ln \circ f$ est une fonction convexe).

Une démonstration particulièrement élégante en a été donnée par Emil Artin^[2].

Ce théorème se généralise à une grande variété de fonctions (ayant des propriétés de convexité ou de concavité de n'importe quel ordre)^[3].

La fonction gamma satisfait classiquement ces trois conditions (la première est immédiate, la deuxième se montre par intégration par parties et la troisième se déduit de l'inégalité de Hölder).

Soit $f$ une fonction qui les satisfait aussi.

Les deux premières conditions permettent d'obtenir, pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x>0$ :

f(n+1)=n!\quad {\text{et}}\quad f(n+x)=f(x)\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).

On utilise ensuite la convexité de $\log(f)$ pour en déduire :

\forall u,v>0,\;\forall x\in {}[0,1],\;f{\big (}xu+(1-x)v{\big )}\leqslant f(u)^{x}f(v)^{1-x}.

En particulier, pour tout réel $x\in {}]0,1]$ et tout entier $n>0$ :

$f(n+x)=f{\big (}x(n+1)+(1-x)n{\big )}\leqslant f(n+1)^{x}f(n)^{1-x}=n^{x}\;(n-1)!$
$n!=f(n+1)=f{\big (}x(n+x)+(1-x)(n+1+x){\big )}\leqslant f(n+x)^{x}f(n+x+1)^{1-x}=(n+x)^{1-x}~f(n+x).$

En substituant $f(n+x)$ , on obtient ainsi l'encadrement suivant pour $f(x)$ ^[4] :

{\frac {(n+x)^{x-1}~n!}{\prod \limits _{k=0}^{n-1}(x+k)}}\leqslant f(x)\leqslant {\frac {n^{x}~(n-1)!}{\prod \limits _{k=0}^{n-1}(x+k)}}.

et (puisque $\Gamma$ satisfait les mêmes hypothèses) le même encadrement pour $\Gamma (x)$ .

Or quand $n$ tend vers l'infini, le majorant et le minorant sont équivalents. Par conséquent, ils tendent tous deux vers $\Gamma (x)$ , auquel $f(x)$ est donc égal.

Cette égalité, démontrée pour tout $x\in {}]0,1]$ , s'étend à tout $x\in {}]0,+\infty [$ grâce à la deuxième condition, donc $f=\Gamma$ .

Remarque

Cette démonstration prouve de plus que pour tout $x\in ]0,1]$ , toute suite équivalente aux bornes de l'encadrement ci-dessus tend vers $\Gamma (x)$ . En particulier :

\Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}~n!}{\prod _{0\leqslant k\leqslant n}(x+k)}}.

Comme précédemment, cette égalité s'étend à tout $x\in {}]0,+\infty [$ .

Théorème de Bohr-Mollerup

Remarque

Notes et références

Voir aussi

Article connexe

Liens externes

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